第三节分部积分法基本内容二、小结三、思考题
一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法
高等数学一、基本内容问题 xe"dx =?解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数uv'=(uv) -u'v,(uv) = u'v+ uv',上页uv'dx=uv-fu'vdx,udv = uv -f vdu.下页返回分部积分(integrationbyparts)公式
下页 返回 上页 问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容
高等数学例1求积分「xcosxdx.I2dx2解(一)令u=cosx,xdxdy==22[ xcos xdx =sin xdxcosx +22显然，u,选择不当，积分更难进行解（二）令u=x，cosxdx=dsinx=dv[ xcos xdx={ xd sinx= xsinx-{ sinxdx上页下页=xsinx+cosx+C.返回
下页 返回 上页 例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C
高等数学x'e*dx.例2求积分解u=x?,e"dx = de* = dv.x'e*dx=x'e*-2[xe*dx再次使用分部积分法）u=x，edx=dyxe*-2(xe*-e)+C.总结若被积函数是幂幕函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函上页数为u，使其降幂一次（假定幂指数是正整数）下页返回
下页 返回 上页 例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
高等数学例3求积分x arctanxdx.解 令u=arctanx,dxdx =d-2/xarctanxdx-d(arctanx)arctanx2222xr1dxarctanx222+x121E)dxarctanx-2x21+x上页下页(x-arctanx)+Carctanx22返回
下页 返回 上页 例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +