m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园
上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社 参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社
第三章拟合与逼近第一节问题的提出第二节曲线拟合的最小二乘法第三节最佳平方逼近上页下页返园
上页 下页 返回 第三章 拟合与逼近 第一节 问题的提出 第二节 曲线拟合的最小二乘法 第三节 最佳平方逼近
83最佳平方逼近从离散点的最小二乘曲线拟合，可以很自然的过渡到连续函数的最佳平方逼近．先介绍正交多项式的概念一、正交函数族与正交多项式定义: 若 f(x),g(x)eC[a,b] ， p(x)为 [a,b]上的权函数且满足(f(x),g(x) = (p(x)f(x)g(x)dx =0则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权p(x)正交若函数族 P (x),(x),,P,(x),..满足关系:0jk(g,(x),P(x))= f~ p(x)p,(x)P (x)dx =A>0 j=k则称 (;(x)是[a,b]上带权p(x)正交函数族上页下页若Ak=1，则称之为标准正交函数族。返圆
上页 下页 返回 一、正交函数族与正交多项式 从离散点的最小二乘曲线拟合，可以很自然的过渡到连续 §3 最佳平方逼近 定义：若 ， 为 上的 权函数且满足 f x g x C a b ( ), ( ) [ , ] ( ) x [ , ] a b ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b a f x g x x f x g x dx 则称 f x( ) 与 g x( ) 在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交。 0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b j k j k a k j k x x x x x dx A j k 若函数族 满足关系： 0 1 ( ), ( ), , ( ), n x x x 则称 k ( ) x 是 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交函数族 若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数族。 函数的最佳平方逼近. 先介绍正交多项式的概念
例：三角函数族l,cosx,sinx,..,cosnx,sinnx,...在区间「一元，元上是正交函数族。定义：设Pn(α）是[a,bl上首项系数an±0的n次多项式，p(x)为[a,b] 上的权函数,如果多项式序列1P,(x)0满足关系式j+k(0, 0)-(4≥0 -k则称多项式序列(,(x)/在[a,b止带权p(x)正交。称Pn(x)为区间[a,bl上带权p(x)的n 次正交多项式上页下页返圆
上页 下页 返回 [ , ] 例:三角函数族 1,cos ,sin , ,cos ,sin , x x nx nx 在区间 上是正交函数族。 定义：设 是 上首项系数 的 次 多项式， 为 上的权函数， ( ) n x [ , ] a b 0 n a n ( ) x [ , ] a b 如果多项式序列 n ( ) x i 0 满足关系式 0 , 0 j k k j k A j k 则称多项式序列 n ( ) x i 0 在 上带权 正交。 [ , ] a b ( ) x 称 n ( ) x 为区间 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的 n 次正交多项式
只要给定了区间[a,b]及权函数p(x)，均可由一族线性无关的函数{1,x,x2通过正交化的方法得到正交多项式序列(,(x)(x",p,(x))0-1 -0-P, (a)(n =1,2, )例如：设(x)=x+C，由(91,)=0，得：C,=-(b+a);2设2(x)=x +C,x+C3, 由(P2,P) = 0,(P2,P) = 0,可解得C2、C3.上页下页返圆
上页 下页 返回 1 0 0 ( , ( )) ( ) 1; ( ) ( ) ( ( ), ( )) n n n j n j j j j x x x x x x x x ( 1,2, ) n 只要给定了区间 [ , ] a b 及权函数 ( ) x ， 2 均可由一族线性无关的函数 {1, , , } x x ， 0 ( ) n i x 通过正交化的方法得到正交多项式序列 ( ); 2 1 例如：设1 (x) x c1 ， 由(1 ,0 ) 0，得：c1 b a . ( ) ( , ) 0 ( , ) 0 2 3 2 3 2 0 2 1 2 2 c c x x c x c 可解得 、 设 ， 由 ，