第四节平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形三、参数方程情形四、极坐标情形思考题五、小结
一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结 思考题 第四节 平面曲线的弧长
高等数学一、平面曲线弧长的概念(arclength of a curve)设A、B是曲线弧上的两MMn-l个端点，在弧上插入分点B=M,MA= Mo,M.,..M;A=M...",Mn-1,M, = B并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时上页n此折线的长IMi-,M|的极限存在，则称此极限为下页返回i=1曲线弧AB的弧长
下页 返回 上页 o x y A = M0 M1 B = Mn M2 Mn−1 设A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念 (arc length of a curve)
高等数学二、直角坐标情形设曲线弧为y=f(x)V(a≤x≤b)，其中f(x)在[a,bl上有一阶连续导数dy取积分变量为x，在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]axx+dxb以对应小切线段的长代替小弧段的长上页小切线段的长/(dx)+(dy)=/1+y"dx下页弧长元素ds=1+ydx 弧长 s={"V1+ydx
下页 返回 上页 设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形
高等数学23e例1计算曲线y2上相应于x从a到b的一-3x=段弧的长度解 y'=x,.. ds = 1+(x)dx= ~1+ xdx,所求弧长为上页2下页= ["~/1+ xdx =[(1+b) -(1+a))]2返回
下页 返回 上页 例 1 计算曲线 23 32 y = x 上相应于x从a 到 b的一 段弧的长度. 解 , 21 y = x ds x dx 2 1 ( )21 = + = 1 + xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1 + [(1 ) (1 ) ]. 32 23 23 = + b − + a a b
高等数学例2计算曲线y=/sinde的弧长(0≤x≤n元)nvx解y=nsinsinnns=f'1+y"dx =1+sin=dxnx=ntV1+sint.ndt1t元[ cos=+2sin+dsincOs上页221下页返回n+cosdtsin=4n.J022
下页 返回 上页 例 2 计算曲线y n d nx = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , nx = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4 n