第四节几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结思考题
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 四、小结 思考题 第四节 几种特殊类型函数的积分
高等数学的积分一、有理函数(rational functions有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之P(x)ax" +axn-i +..+an-x+a,b,x" +b,xm-1 +...+bm-+x+b,Q(x)拉M其中m、n都是非负整数；ao,ai,…,an及上页bo,bi,,bm都是实数，并且a,±0，b，≠0下页返回
下页 返回 上页 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、有理函数(rational functions)的积分
高等数学假定分子与分母之间没有公因式n<m，这有理函数是真分式(1)(2）n≥m，这有理函数是假分式；利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x31+x+1例=x+x2+1x2+1上页难点将有理函数化为部分分式之和下页返回
下页 返回 上页 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
高等数学有理函数化为部分分式之和的一般规律：(1）分母中若有因式(x一a)，则分解后为A2A,(x-a)k-i(x-a)kx-a其中A,A,,A,都是常数4上页特殊地：k=1，分解后为下页x-a返回
下页 返回 上页 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
高等数学(2）分母中若有因式(x2+px+g)，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+ NMx+NMx+N(x + px + g)k-1x2+ px+q(x2+px+g)k其中M,,N,都是常数(i=1,2,,k)Mx+ N上页特殊地：k=1，分解后为x+ px+q下页返回
下页 返回 上页 （2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +