第二节换元积分法第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题福
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法
高等数学一、第一类换元法问题cos2xdx字 sin 2x +C解决方法利用复合函数，设置中间变量过程令t=2x=dx=dt.2上页1sint + C=sin2x +C.cos2xdxcostdt=-一=下页222返回
下页 返回 上页 问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
高等数学在一般情况下：设 F'(u)= f(u), 则[f(u)du= F(u)+C.如果u=(x)（可微）dF[p(x)] = f[Φ(x)]@'(x)dx[ f[p(x)lp'(x)dx = F[p(x)I+ C上页=[J f(u)dulu=p(x)由此可得换元法定理下页返回
下页 返回 上页 在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
高等数学定理1设f(u)具有原函数，u=(x)可导则有换元公式J f[p(x)l'(x)dx = [J f(u)dulu=(x)第一类换元公式（凑微分法）中说明使用此公式的关键在于将[ g(x)dx 化为[ f[p(x)]s'(x)dx.上页下页观察重点不同，所得结论不同返回
下页 返回 上页 设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
高等数学例1求[ sin2xdx.解（一）「sin2xdxsin 2xd(2x)2cos2x+C;2解（二）「sin2xdx =2[sinxcosxdx= 2[ sin xd(sin x)= (sin x) + C;解（三）「sin2xdx =2Jsinxcosxdx上页下页= -2J cos xd(cos x)= -(cos x) + C.返回
下页 返回 上页 例 1 求 sin 2 . xdx 解（一） sin 2xdx = sin 2 (2 ) 21 xd x cos 2 ; 21 = − x + C 解（二） sin 2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin 2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C