第二节平面图形的面积直角坐标系情形极坐标系情形二、木三、小结思考题
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题 第二节 平面图形的面积
高等数学一、直角坐标系情形（rectangularcoordinate system）y4Vy= f(x)y= f(x)yi= fi(x)bto1oxAxaxx+ Axba曲边梯形的面积曲边梯形的面积上页下页A= J"f(x)dxA= f'lf,(x) - fi(x)]dx返回
下页 返回 上页 x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx ( rectangular coordinate system )
高等数学例1计算由两条抛物线y2=x和y=x所围成的图形的面积。解「x=y2两曲线的交点(0,0) (1,1)y=x2选x为积分变量xE[0,1]面积元素dA=(Vx-x)dx上页2-3下页2-号A= f'(/x-x")dx=返回
下页 返回 上页 例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x [ 0 , 1 ] A ( x x )dx 2 10 = − 10 3 3 3 2 23 = − x x . 31 = 2 y = x 2 x = y
高等数学例2计算由曲线V=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积0y=x3-6x10解?两曲线的交点V=7.5y= x3 -6xy=x2+3-2-1=(0,0),(-2,4),(3,9).2.5-选x为积分变量 xE[-2,3]上页(1) xE[-2, 0], dA, =(x3 -6x-x°)dx下页返回(2) xE[0,3], dA, =(x2 -x3 +6x)dx
下页 返回 上页 例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
高等数学于是所求面积 A= A, +AA= J,(x3 -6x - x")dx + J'(x2 - x3 + 6x)dx25312说明：注意各积分区间上被积函数的形式上页问题：禾积分变量只能选x吗？下页返回
下页 返回 上页 于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？