第29次课 教学内容(或课题):§1.谱的概念 目的要求:掌握谱的概念 教学过程: 第九章巴拿赫空间中的基本定理 本章将介绍 Banach空间中的四个著名定理:Hahn- Banach 泛函延拓定理,一致有界性定理,逆算子定理和闭图象定理,这些 定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用 第上章线性算子的谱 谱论是泛函分析的重要分之一.从《线性代数》课程中可 知:有限维空间上的线性算子由它的特征值和最小多项式完全确 定,将这一结论推厂到有界线性算子的情况,研究它的结构,就是 算子的谱理论,特征值的概念将相应地扩展为“谱”,由于特征值 和逆算子有密切关系,谱论也大量涉及逆算子的问题,将算子求 逆应用到微分算子和积分算子上,推动了微分方程和积分方程的 发展
44 第 29 次课 教学内容(或课题)： §1.谱的概念 目的要求： 掌握谱的概念. 教学过程：
§1.谱的概念 考竅n个未知数的线性方程组 Cin=y ,t …十 它对应系数矩阵A=(a,).记x(x,x,…,xn),y=(31,2,…,), 则上述方程表示n维空间E上的线性算子AAx=3.对复数A, 若存在x=0,使4x=Ax,则称λ是A的特征值.它意味着(A A)x=0有非零解,即算f(A-)不存在逆算子.因此,我们为 了弄清算子A的特征值,必须考察算子(A-4)是否有逆算子的 问题 现在我们转向讨论无限维的情形 定义】设X是赋范空间,T∈(X→X),若T-1存在且是
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定义在整个X上的有界线性算子,则称T是X上的正则算子 关于正则算子有以下的简单性质 1°T是正则算子的充要条件是存在有算子B∈(X→x), 使得 BT=TB=I,Ⅰ是恒等算子 只须证充分性,事实上,若Tz=0,则x=BTx=0,故T是 对一的.对任何yX,因 fa=TBy=y,(令By=x),故T的值城 充满X,即T存在定义在整个X上的T:T1=B,这就证明了T 的正则性 2°若A、B是正则算子,则T=AB也是正则算子,且(AB)1 =BA.这只要验证定义立即可得. 定义2设m∈:(X→,A是一复数,若(T-A正则,我 们称入是算子T的正则点T的正则点全体称为T的正則集或豫 解集,记为P(T).不是正则点的复数称为T的谱点,其全体构成 T的谱,记为0(T) 定义3(谱的分类)设在(T),即T-不存在有界逆算 子,可分三种情况 (1)如果T-不是一对一,此时存在xX、x与0,使(T AD)x=0,即Tx=Ax,这时称是算子T的特征值,z称为相应 于特征值λ的特征向量.T的特征值全体称为T的点谱,记为 a (r) (2)(T-AD是一对一的,但值城不充满全空间 (3)(-MD是X到X上的一对一算于,但(-n)1不是有 界的, (2)(3)两类谱点合称为T的连续谱,记为oc(T) 由逆算子定理可知,当X是 Banach空间时,(3)不会出现这 时()只有(1)、(2)两类
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下面举一些例子 例1设T是有限维空间E上线性算子,则(T)=σ(T) 因为B是 Banach空间,(3)不会发生.现在只须证,如果λ 不是特征值,TI的值域一定充满X,即(2)也不会发生,设x, x2,…,xn是E的基,可以证明 2,- (T-A) 也是线性无关的 事实上,若存在n个复数A,A2,…,λn,使 >a,(t-AI)==0, 即 T一AI) 由于(-AI)是一对一的,即知∑ar;=0.这就证明了{( AD)x4}是线性无关的.所以 span{(7-A)x,…,(T-1)xm}=E", 即?一M是映照“到上”的 例2(单向移位算子)设X=12,其中元素x为 线性算子S定义为 Sx=S(51,52,…,…,…) 我们称S为单向移位箅子.这时可证(8)= 先看λ=0的情形.这时由Sx=(0,5,52,…,5n,…)=0,立 即可知=2=…=n=…=0.若λ=0,从(S-AI)x=0及 (8-A)(51,21…,n,…)
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(41,1,…, (-2 可知 即x=0,这就证明了(8)=0 不难看出:算子S的值域不会充满l,因为Sx的第一个坐标 都是0,故0∈σc(S) 例3设2°是1中只有有限个坐标不为0的数列全体.线 性算子T定义如下 对x=(x1,x2,…,,…)∈Z,令Tx= 然T-1存在,且 T-1的定义域是l,T1作为l°上的线性算子是无界的,事实上, Irl|= sup T-'x」≥ :"en =(0,0,…,n,0,0,…)l=乳 其中巳。={0,0,…,0,1,0,…).因此0是T的第三类谱点。 1个 例4取E=C[a,b],设K(s,t)=∑f()94(t),且f,f, = …,fn在E中线性无关,定义算子A如下: Az)(s)=K(s, t)z(t)di 求A的特征值应满足的条件 0,意味着 ar(s) 4.(t)z(t)d]f,(s)=0. (2) 当A=0时,上式有非零解的充要条件是存在x(t)0,但
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