(t)r(t)砒=0,k=I,2,…, 当0时,容易看出(2)式的任何解x()必可表示为下列形 式 x(s)=∑af(s) 将它代入(2)式,即得 ap f(s) 92(t)r(t)dt:(s) 由于f1,f2,…,f;是线性无关的,即可知 Aap=g, (t)r(t)dt. 这说明,λ是算子A的特征值的充要条件是存在x(t)与0,能 满足(3)式
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§2.有界线性算子谱的基本性质 无限维空间上线性有界算子的谱已不再限于特征值,情况较 有限维情形要复杂得多,但是还是有一些基本性质可以得出.这 节涉及的空间X均指 Banach空间 定理1设T∈(X→>x),T<1,則1P(T).这时I- 有定义在全空间上的有界逆算子: (1-7)=∑T=1+T+P2+…+T+… 这里的级数按(X→X)中范数收敛 证因为T2≤72,故||≤‖,但!]<1,必有 2"<∞,所以∑T“<∞,故∑T一致收做于某有界算 子S(按(X→X)中范数收敛),下面验证S确实是(I-T)的逆
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算子 (I-T)(+T+…T)=(I+T+T2+…+T) (T+T2+…+T+) I-T 令n→∞,则T+≤T1-0因<1,故可知∑7*是I-T 的右逆,同理可知共为左逆.这就证明了S=(I-T).证毕 定理2(谱集的闭性)设T∈始(X→X),则p(T)是开集 (T)是闭集. 证若p(T)=必,则p(T)自然是开集.(定理3将证明:有 界线性算子的谱,不会超过它的范数,即∈(T),则A4≤|,因 此这种情形实际上不会发生) 若p(T)非空,设A∈0(T).对任意的复数λ,有恒等式: T-dI=T-aI-(A-do) =(T-An1)[-(T-A)(λ-A)] 现在考I-(T-A0)-(A-A),由AP(T),(T一0T)是有界 算子,且非零.如果|A-101<(T-n)-1-,则(7-42)(元一 l){<1,由定理1知 [I-(T-0)(4-10)] 有逆V1,于是 (T-a1)=(T-AoI)v. 右边两项均存在有界逆算子,故(T—D)也有逆: (T-4)=V-1(r-401)1 这就证明了,若λn∈p(T),则存在A的邻域 U(A0)={14-<T-AD), U(HoC(T) 由于λ6是任取的,故p(T)为开集,因而σ(T)为闭集.证毕
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定理3设T∈闭(X→X),则q(T)是有界闭集,且当a(T) 时有1≤T,由此可知(T)非空 证我们只须证当|>T时都是T的正则点,这时|1 <I,故 B=(7-01)1=-1(r-1r)1 T"∈(X→X) 这说明p()=(2>T,故(m)非空.并由此知 (T)C{}列≤T} 结合定理2的结果,即知a()是有界闭集.证毕. 线性有界算子的谱还有许多重要的性质,例如谱集非空 uplλ=lim,以及谱映照定理等等,限于篇幅,不能在这 里一一叙述了 §3.紧集和全连续算予 为了把谱论应用于积分方程,我们要介绍一种全连续算子.它 的定义,又涉及到紧集的概念 定义1(紧集和相对紧集)设X是度量空间,M是X中子集 如果对M中任何点列xn}都存在子列xn}=收敛于M中 元素x,则称M是紧集,如果X中子集N的闭包N是紧集,则称 N是相对紧集 例1有限维欧氏空间中的有界闭集都是紧集,有界集则是相 对紧集.这由有界点列必有收敛子列的魏尔斯脱拉斯定理立即可 得 例222中的单位球{x1z]≤1,l2}不是紧集
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