第29次课 教学内容(或课题):§1.泛函延拓定理 目的要求:掌握泛函延拓定理 教学过程: 第九章巴拿赫空间中的基本定理 本章将介绍 Banach空间中的四个著名定理:Hahn- Banach 泛函延拓定理,一致有界性定理,逆算子定理和闭图象定理,这些 定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用 §1.泛函廷拓定理 本节所讨论的问题是任何非零赋范空间上是否有非零线性 连续泛函?如果有,是否有足够多?这些问题与下面的泛函延拓 问题有关,即在个子空间(那怕是有限维子空间)上线性连续泛 函是否可以延拓成为整个空间上的线性连续泛函而保持范数不 变?这些都是泛函分析中的最基本问題 我们把问题提得更具体一些,设X是线性赋范空间,Z是X的 子空闾,f是Z上线性连续泛函,令1g=supf(x)|,则∫z< 1 ∞,于是当xZ时,有f(x)|≤∫!划,现在问:是否存在整个空 间X上的线性连续泛函f,使当x∈z时,有f(x)=f(x),并且 lx=|升z,即对任何x∈X,成立|f(x)≤∫2l? 为了解决这个问题,我们令P(x)=fE础,则p(x)是在整个 x上有定义的泛函,并且满足 1°p(ax)-=|a|p(x),x∈H,a为数 2°p(x+y)≤P(x)÷?(3),x,y∈x 称X上满足条件1°和2°的泛函为次线性泛函.这样,前面所提 问题可以化成下面更一般的问题:设f是线性空间x的子空间
44 第 29 次课 教学内容(或课题)： §1.泛函延拓定理 目的要求： 掌握泛函延拓定理. 教学过程：
上定义的线性泛函,p(x)是X上次线性泛函,满足f(x)|≤ P(x),xZ,问是否存在X上定义的线性泛函手,使在上成立 子(x)=f(r),片且满足(f(x)|≤p(x),xX? 定理l(Hahn- Banach泛函延拓定理)设x是实线性空间, p(x)是X上次线性泛函若∫是X的子空间Z上的实线性泛函, 且被P(x)控制,即满足 f(x)≤p(x),x∈z, 则存在X上的实线性泛函子使当c∈名时,有f(x)=f(x),并且 在整个空间X上仍被P(x)控制, 子(x)≤p(ax),x∈X 证明我们一维一维地逐步延拓,不妨设z为X的真子空间 否则结论是乎凡的.因名÷X,存在xX,但x∈Z.记Y为由z 和x0所张成的线性子空间,则y中任何元素3,可以被唯一地表 示成为犭=x+txo,其中r∈名,t是实数.事实上,若又有y=x1+ t1x0,x1∈么,t为实数,则有x-x1=(t1-t)x,但x-x1∈名,x0÷0, 且x0∈Z,所以必须t1一t=0,因而t1=t,x1=x0,我们首先把Z 上的泛函∫延拓到Y上.如果线性泛函g是f在Y上的延拓,则 对Y中任意向量y=x+tx,x∈Z,t为实数,有 g(3)=f(x)+t9(x) 其中f(x)是已知的(因x∈Z),给定后,也唯一确定了,因此要 确定g在y的值,只要确定与x和都无关的实数值g(xo),使对 任何y∈Y,都有g(3)≤卩(y),即只要寻找实数c,使不等式f(x) +tc≤p(x+1x0)对一切x∈Z和一切实数E成立,为此,只要寻找 实数6,使对一切x∈X和一切t>0,不等式 c≤p(x+txl)-f(x) 和对一切x∈X,t<0,不等式
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c≥1(x÷12)-()2-(x-x)+f2 同时成立即可,也就是说6必须弱时满足下列两个不等式, c≤P(x’+xa)一f(x3),x∈z c≥-p(x-x0)+f(x),x"∈Z 显然要使满足上述两不等式的实数c存在,须且只须不等式 一p(x"-x0)+f(x")≤p(x+x0)一f(x’), 即不等式 ∫(x")-f(x")≤p(x"-x0)+p(x’÷xo) 对-切x’,x'∈Z成立.但由于p为次线性泛函,而f又在Z上被 P控制,所以对任何x,x∈Z成立 f(x')-∫(x")·-(x'x")≤p(x’+x")≤p(x”-x) 所以要寻找的c确实存在,事实上只要取c满足 sup-p(x"-r)+f(x")]≤c≤inf[p(x+x)-f(x') 即可,这样一米,我们证明了的确存在Y上的线性泛函g,使g是 ∫的延拓,且仍然保持着g(x)≤P(x),x∈Y, 下面证明存在全空间上定义的实线性泛函子,使f是∫的延 拓,并且对切xX,成立子(x)≤P(x) 设是满足下面三个条件的实线性泛函g全体: 1°g的定义域必(g)是x的线性子空间 2°g是∫的延拓,即C(),且当x∈Z时,成立 3°在(9)上9被挖制即对一切xa(9),有9(x)≤p(x) 在中规定顺序如下:若g1,92,而g1是92的延拓(即多 (9:)2a(92)并且当r∈(g2)时,91(x)=92(x),就规定g2<91, 容易证明,按这样规定的顺序成为半序集
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设为中的一个全序集,令()=Ug(9),定义(h)上泛 函b如下:对任何x∈z(h),则必有92,使x∈B(g),规定h(x) 首先这样定义的h有意义,即若x∈(h),并且有g1,92∈2, 使必(g1)∩(92)时,必有g1(x)=g2(x). 事实上,由于是是全序集,91和g2有顺序关系,不妨设92 g1,则多(91)2(92),并且当张(92)时,有91(y)=g2(y),由于 x∈z(91)∩(92),所以g1(x)=g2(x) 其次是线性泛函,事实上若x梁(h),必有;,g2∈,使 得κ(g1),张∈B(g2).由于是全序集,不妨设92<91,则3∈ (92)c(91),于是对任何数a,B,由于媒x-By∈交(91),所以 h(ar+ By)=g (ar+By)=ag1(=)+Bg, (y)=ah(a)+Bh(y), 即b是线性泛函.最后是∫的廷拓,并且在2(h)上被P控制 事实上,由的定义,易知(屯)Z,并且对任何x∈Z,必有h(x) ∫(x),即磊是∫的延拓,又对任何x∈(),必有9∈s,使x∈ (9),并且(x)=9(x),但由于在必(g)上成立g(x)≤P(x),所以 h(x)=9(x)≤P(x),即h在必(h)上被p(x)控制由h的作法,易 知h是②的上界.由Zorn引理,有极大元,设为f 下证()=X,若,(f与X,取x∈x,x的(,令Y为由 a(与x所张成的线性子空间,则由前面证明,必有Y上线性泛 函g,使g是的延拓并且在(g)=Y上被P控制,由于J∈, 所以j是f的延拓,故g也为∫的延拓,因此g∈济,显然∫<9, 并且÷g这与f是中极大元矛盾,因而5(子=X,所以子即为 定理所要求的泛函.证毕. 现在让我们把上述关于实线性空间和实线性泛函的定理推 到复的情况 定理2设是实或复的线性空间,P(x)是X上次线性泛函
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f(x是定义在X的子空间Z上的实或复的线性泛函,且满足 f(x)≤P(x),x∈Z, 则存在X上线性泛函j,它是∫的延拓,且满足 f(x)|≤P(x),X 证明,(1)若X是实线性空间,由定理1,知存在实线性泛函 子(x),它是f的延拓且满足f(x)≤P(x),xX,又由于对任何x ∈X,f(-x)≤p(·x):p(x),所以f(x)≥-p(x),因而 ∫(x)|≤P(x),x∈X (2)若X是复线性空间,则f是Z上复线性泛函,设f(x)= f;(x)+i2(x),其中f1(x)和f2(x)分别为f(x)的实部和虚部.另 一方面,由于复线性空间也可以看作实线性空间,设X和Z分 别表示实线性空间X和Z,于是东1可看成在2上的实线性泛 函,由于|f1(x)≤|f(x)≤P(x),Z=Z,由定理1,存在x上 实线性泛函f1(x),使1(x)是f(x)的延拓,并且子1(x)≤?(x),z 我们现在回过来看Z上复线性泛函∫.对Z,由于∫是复 线性泛函,所以i(x)=∫(ix),z∈Z,于是有 if(x)=i[f1(x)+i2(x)]=∫(x)=f1(多x)+i2(ix), 比较实部,可知-f2(x)=f1(ix),我们不妨设想,当x∈X时,仍有 -12(x)=f1(ix)成立,其中f1(x)和子2(x)分别为所求泛函子的实 部和虚部,因而有理由令 f(e)-f,(c)-if, (iz),rEX (注意:x,和X的元素相同,i∈X=X,故f;(ix)有意义),这样 定义的f(x)是∫(x)的延拓事实上,当x∈z时,ix∈Z,所以 f(a)=f(x)if, (ir)=f(a)-if, (ir) f (a)iif(r)=f(r) 现在只须证f(x)是X上线性泛函,且成立|f(x)|≤p(x),x∈
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