第21次课 教学内容(或课题):§1.内积空间的基本概念 目的要求:掌握内积空间的基本概念 教学过程:
44 第 21 次课 教学内容(或课题)： §1.内积空间的基本概念 目的要求： 掌握内积空间的基本概念. 教学过程：
第八章内积空间和希尔伯特 ( Hilbert)空间 在这一章中,我们专门讨论一类特殊的线性赋范空间—内 积空间,在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念,从 而可以在内积空间中建立起相应的几何学.在这一章中,我们还 要讨论 Hilbert空间上的 Fourier分析及它上面的算子,特别是 酉算子,自伴算子和正常算子的一些初步性质 1.内积空间的基本概念 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个 向量的内积的运算,即若 a=(51,52…,n),b=(m1,n2…,7n) 则a与b的内积定义为 a,b)=+与2而2+…+可n 其中示表示n的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 !a!=√〈a,a) 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于〈a,b)=0.显然, 在有限维复欧氏空间E中,由(1)定义的内积具有下述性质 1°〈a,a)≥0,且〈a,a>=0等价于a=0 2°〈aBb,c)=α〈a,c〉+B〈b,c>,其中a,b,c∈B f为复数; 在复欧氏空间E的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是
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上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入 内积的概念, 定义1设X是复线性空间,如果对X中任何两个向量x,3, 有一复数x,y与之对应,并且满足下列条件: 1°〈x,x)≥0,且x,x>=0等价于x=0,x∈X 2°<ax÷6y,x=a、x,x引,x),x,引,z∈X,,月为复数; 3°〈x,}=〈,x,x,∈x, 则称(x,y>为x与的内积X称为内积空间 如果X是实的线性空间,则条件3°就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式 〈x,gy+Bz〉=(x,》+6(x,z (2) 设X是内积空间,令 那末|x是X上的范数,事实上,由内积定义及(2)式不难证明 (a)!x≥0,且=0等价于x=0; (b)|arl=,a||x!. 为了证明范数不等式lx+到≤+y,我们首先证明许瓦兹 ( Schwarz)不等式: 引理1( Schwarz不等式)设X按内积(x,y成为内积空间, 则对于X中任意向量x,,成立不等式 <x,y》≤lx!yl (4) 当且仅当x与y线性相关时,不等式(4)中等号才成立 证明如果=0,易知对一切∈X,<x,0)=0,因而(4)式成 立,若y与0,则对每个复数c由内积条件1°,有 0≤(x-cy,x-ay}>=(x,2)一a(x,3)一a(3,x》一a(y,3)] 令a=〈孙,x》/(3,3〉,那末上式方括号中式子为0,所以
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0≤(x,x)-“, 〈x,y>=r 1<x,y) 〈y,y〉 两边乘以扩2,并且开方,即可得到要证的 Schwarz不等式 〈x,g)!≤!x!yl 若x与线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之、若(4)式中等号成立,假定y=0,则x与犭自然线性相关,若 y÷0,令 a= 由 Schwarz不等式推导过程,易知!x-ay2=0,即x=ay,所以x 与y线性相关,证毕 由 Schwarz不等式,立即可知!x满足范数不等式,事实上 1z+:2=:〈x-y,x+y)=(x,x)+《y,x+(x,3》+(y,g z12+(x,y)+〈y,z)+|y ≤|x|2+21ryl+My|2=(}x+y)2, 所以!x+到≤x.称由(3)式定义的范数}x|为由内积导出 的范数所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若X按(3)式中范 数完备,则称为Hber空间 设|x是由内积导出的范数,通过计算,读者不难证明对X中 任何两个向量x,3∈X,成立平行四边形公式 lz+2+x-y|2==2(|x!2+y2) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广,反之可以证明, 若X是线性赋范空间,其中范数x对X中任何向量x,∈X,满足 平行四边形公式(5),那末一定可在X中定义内积〈x,y〉,使z就 是由内积〈x,y〉导出的范数,证明因限于篇幅而略去.因此,(5)式 是内积空间中范数的特征性质 下面举一些内积空间的例子 例1L2[a,b],对L2[a,b]中任意向量x,3,定义
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x(ty(t)de 易知L2[a,b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范 数 1(:n) 即为第六章§8例4中所定义的范数,由第六章§8定理2知, D2[a,b]成为 Hilbert空间 例2v,设x=(1,52,与,…),y=(n,2,n3,…), 定义 则1按(7)中内积也成为 Hilbert空间. 例3当P与2时,琵不成为内积空间, 事实上,令x=(1,1,0,…),y=(1,一1,0,…),则x∈U, y∈l,且x=|yl=2,但lx+y}=日x-yl=2,所以不满足平行 四边形公式(5),这说明l(p=2)中范数不能由内积导出,因而不 是内积空间 例4C[a,b]按x= max r(t)】不成为内积空间 事实上,令t)=1,)=b-a,则x,Ca,b,且z =yl=】,但因为 (t)+y(t)=1+ x(t)-y(t)=1 所以|x+3=2,hz-?=1,因此不满足平形四边形公式,这就证 明了C[a,b]不是內积空间
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