第10次课 教学内容(或课题):§7.线性空间 目的要求:掌握线性空间、线性相关、线性无关、维数和基等概 念,认识几个常用的线性空间 教学过程: Def1.设X是一非空集合,在X中定义了元素的加法运算和实数 (复数)与X中元素的乘法运算,满足下列条件 (一)关于加法成为交换群,即对vx,y∈X,丑∈X与之对应,记 之为u=x+y,称为x与y的和,满足 x+y=y+x, 2)(x+y)+z=x+(y+=)(x,yz∈X), 3)在X中存在唯一元素θ,s.t.对Vx∈X,成立x+b=x,称O 为X中零元素, 4)对X中每个元素x存在唯一元素x'∈X,s.t.x+x'=,称 为x的负元素,记为-x (二)对X中每个元素x及任何实数(复数)a,存在元素u∈X与 之对应,记为u=ax,称为a与x的数积,满足 1)1 )d(bx)=(ab)x对任何实数或复数a,b都成立, 3)(a+b=ax+bx: a(x+y)=ax+by (yE X) 则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间,其中的元素 称为向量.如果数乘运算只对实数(复数)有意义,则称X是实(复)线性 空间 对任何x∈X及数a,易证0x=0,ab=0,(-1x=-x 实因x+0x=1x+0x=(1+0)x=1x=x,有0x=0 ax+a0=a(x+0=ax, a0=0
44 第 10 次课 教学内容(或课题)： §7.线性空间 目的要求： 掌握线性空间、线性相关、线性无关、维数和基等概 念，认识几个常用的线性空间. 教学过程： Def 1.设 X 是一非空集合，在 X 中定义了元素的加法运算和实数 (复数)与 X 中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法成为交换群，即对 x, y X ，u X 与之对应，记 之为 u = x + y ，称为 x 与 y 的和，满足 1) x + y = y + x ， 2) (x + y)+ z = x + (y + z) (x, y,z X )， 3) 在 X 中存在唯一元素 ，s.t.对 x X ，成立 x + = x ，称 为 X 中零元素， 4) 对 X 中每个元素 x 存在唯一元素 x X ，s.t. x + x = ，称 x 为 x 的负元素，记为− x . (二) 对 X 中每个元素 x 及任何实数(复数) a ，存在元素 u X 与 之对应，记为 u = a x ，称为 a 与 x 的数积，满足 1) 1 x = x， 2) a(bx) = (ab)x 对任何实数或复数 a,b 都成立， 3) (a + b)x = ax +bx ; a(x + y) = ax + by ( y X )， 则称 X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素 称为向量.如果数乘运算只对实数(复数)有意义，则称 X 是实(复)线性 空间. 对任何 x X 及数 a ，易证 0 x = ，a = ,(−1)x = −x . 实因 x + 0x =1x + 0x = (1+ 0)x =1x = x ，有 0 x = ; ax + a = a(x + )= ax ，有 a = ;
x+(-1x=1x+(-1)x=[+(-l)}x=0x=O,有(-1)x=-x 以后把零元素O记为0 例1.R".对R中x=(1,2…,n),y=(n,h2…n)∈R 和实数(复数)a,定义x+y=(1+n,2+n2…,5n+mn), ax=(a51,a5 15n) 容易验证按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间 例2.C[ab]对wxy∈Cab]和数a,定义 (x+y))=x()+y(),(ax)()=a(t)t∈gb 则dab]按上述加法和数乘运算成为线性空间 般情况及有关约定见课本P193.1-7行 例3.空间1(p>0).设x=(5152…,5n…)是实(复)数 列,若∑5k<∞,则称数列(5,52,…5n…)是p次收敛数列.P 次收敛数列的全体记为P.对vx=(51,52,……,n y=(,n2…,n…)∈P和a∈R或C,定义 +y=(1+n12+ 5n+nn+……) ax=(as 往证x+y∈",ax∈1P.实因 n+nP≤(5n|+hn)≤(2mx(5hnD)=2( nax(s, 1na Dr≤2°
45 x + (−1)x =1x + (−1)x = 1+ (−1)x = 0x = ，有 (−1)x = −x . 以后把零元素 记为 0. 例 1. n R . 对 n R 中 x = ( ) n , , , 1 2 ， y = ( ) n , , , 1 2 n R 和 实数(复数) a ，定义 x + y = ( ) + + n +n , , , 1 1 2 2 ， a x = ( ) a a a n , , , 1 2 . 容易验证按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间. 例 2. Ca,b. 对 x, y Ca,b 和 数 a ，定义 (x + y)(t) = x(t)+ y(t)，(ax)(t) = ax(t) t a,b 则 Ca,b 按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般情况及有关约定见课本 P 193.1-7 行. 例 3. 空间 p l ( p 0). 设 x = ( , , , , ) 1 2 n 是实(复)数 列，若 k=1 p k ，则称数列 ( , , , , ) 1 2 n 是 p 次收敛数列. p 次收敛数列的全体记为 p l . 对 x = ( , , , , ) 1 2 n ， y = ( , , , , ) 1 2 n p l 和 aR 或 C ，定义 x + y = ( + + + +) n n , , , 1 1 2 2 ， a x = ( +) a a a n , , , 1 2 . 往证 x + y p l ，a x p l . 实因 p n +n ( ) p n + n ( ( )) p n n 2max , = p 2 ( ( )) p n n max , p 2
+.所以+n21:+Emr|<,所以 x+y∈1"·∑5n=∑k<∞,所以ax∈1·所以1(p>0) 按上述加法和数乘运算成为线性空间 般场合及今后约定见课本P193.倒4-倒3行 设X是线性空间,YcX,Y≠Φ,若Vx,y∈Y及数a,有 x+y∈y,ax∈rY,则γ按X中加法和数乘运算也成为线性空间,称 为X的子空间. x和⑨}是x的两个子空间,称为平凡子空间 设 X a∈R或C,称 a,R,+a2x2 +…+anxn为向量x1,x2…,xn的一个线性组合.设 McX,M≠Φ,M中任意有限个向量线性组合全体记为SpmM, 称为由M张成的线性包 命题 Span是X的线性子空间,并且是X中包含M的最小线 性子空间.即若F是X中包含M的线性子空间,则必有F=SmM Def2.设x1,x2,…,xm是线性空间X中的向量,若在m个不全为 零的数a1a2, s. t a1x1+a2x2+……+anxn=0 则称x12x2…,x线性相关,否则称为线性无关 ,xn线性相关若a1x1+a2x2+…+anxn=0,则必有
46 ( ) p n p n + ，所以 = + n 1 p n n p 2 + = =1 n 1 p n p n n ， 所以 x + y p l . n=1 p a n = p a n=1 p n ，所以 a x p l . 所以 p l ( p 0) 按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般场合及今后约定见课本 P 193.倒 4-倒 3 行. 设 X 是线性空间， Y X ，Y ，若 x, y Y 及 数 a ，有 x + y Y ，ax Y ，则 Y 按 X 中加法和数乘运算也成为线性空间，称 为 X 的子空间. X 和 0 是 X 的两个子空间，称为平凡子空间. 设 m x , x , , x 1 2 X ，a a am , , , 1 2 R 或 C ，称 m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 为向量 m x , x , , x 1 2 的一个线性组合. 设 M X ， M ， M 中任意有限个向量线性组合全体记为 SpanM ， 称为由 M 张成的线性包. 命题 SpanM 是 X 的线性子空间，并且是 X 中包含 M 的最小线 性子空间. 即若 F 是 X 中包含 M 的线性子空间，则必有 F SpanM . Def 2. 设 m x , x , , x 1 2 是线性空间 X 中的向量，若在 m 个不全为 零的数 a a am , , , 1 2 ，s.t. m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 =0 (1) 则称 m x , x , , x 1 2 线性相关，否则称为线性无关. m x , x , , x 1 2 线性相关 若 m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 =0，则必有
1=a2= 0 Def3.设M是线性空间X的一个子集,如果M中任意有限个向 量都线性无关,则称M是X中线性无关子集.设M和N为X中两个 子集,若M中任何向量与N中任何向量都线性无关,则称M和N线 性无关 例如,在1P中,令日1=(100…),2=(010…),… M={1,e2…;en,…},则M是X中线性无关子集.令 M1=1,e3,…,e2n,…},M2={e2,e1,…,e2n…},则M和M2 线性无关 线性无关与线性相关与所取数域有关在实数域上线性无关的向 量组在复数域中可能线性相关 Def4.设X是线性空间,M是X中线性无关子集,如果 Span=X,则称M的基数为X的维数,记为dmX,M称为X的 组基.如果M的基数为有限数,则X是有限维线性空间,否则是无限 维线性空间如果X只含有零元素,则称X是零维线性空间 任何有限维线性空间的维数不随基的不同而改变 R空间标准基、C[ab]是无限维空间,均见课本P195.倒9-例20 第11次课 教学内容(或课题):§线线赋范空间和巴拿赫空间(1) 目的要求:掌握线性赋范空间、巴拿赫空间的基本概念,掌握由 范数诱导出的距离. 教学过程 Def1.设X是实(或复)的线性空间,若对每个x∈X,有一个
47 a1 = a2 == am = 0 . Def 3. 设 M 是线性空间 X 的一个子集，如果 M 中任意有限个向 量都线性无关，则称 M 是 X 中线性无关子集. 设 M 和 N 为 X 中两个 子集，若 M 中任何向量与 N 中任何向量都线性无关，则称 M 和 N 线 性无关. 例如，在 p l 中，令 (1,0,0, ) e1 = ， (0,1,0, ) e2 = ，; M = e1 ,e2 , ,en , ，则 M 是 X 中线性无关子集. 令 M1 = e1 ,e3 , ,e2n−1 , ，M2 = e2 ,e4 , ,e2n , ，则 M1 和 M2 线性无关 线性无关与线性相关与所取数域有关. 在实数域上线性无关的向 量组在复数域中可能线性相关. Def 4. 设 X 是线性空间， M 是 X 中线性无关子集，如果 SpanM = X ，则称 M 的基数为 X 的维数，记为 dim X ，M 称为 X 的一 组基. 如果 M 的基数为有限数，则 X 是有限维线性空间，否则是无限 维线性空间. 如果 X 只含有零元素，则称 X 是零维线性空间. 任何有限维线性空间的维数不随基的不同而改变. n R 空间标准基、 Ca,b 是无限维空间，均见课本 P 195.倒 9-例 20 行. 第 11 次课 教学内容(或课题)：§线线赋范空间和巴拿赫空间(1) 目的要求： 掌握线性赋范空间、巴拿赫空间的基本概念，掌握由 范数诱导出的距离. 教学过程： Def 1. 设 X 是实(或复)的线性空间，若对每个 x X ，有一个
确定的实数,记之为,与之对应,并且满足 1°|对20,并且=0x=0 2°ka=lc,其中a为任意实(或复)数 30|x+y≤+y,xy∈x, 则称叫为向量x的范数,称X按范数|成为线性赋范空间 设n}是x中点列,若存在x∈X,s.t.|x-划→0(→∞), 则称点列{xnm依范数收敛于x,记为mxn=x或xn→x 若令d(x,y)=kx-y(xy∈x),则由x-y≥0,知d(xy)≥0.由 x-y=0x=y,知d(xy)=0台x=y.又v∈X,由 x-y=x-二+二-川≤|x-+|y-,知d(x,y)≤d(x2=)+d(V,)于 是d(x,y)是X上的距离,且 点列{n}依范数收敛于x等价于按距离d(x,y)收敛于x.称d(x,y)为 由范数导出的距离.所以线性赋范空间实际上是一种特殊的度量空间 若d(xy)是由范数|导出的距离,即d(x,y)=x-川则该距离与 线性运算之间有某种关系,即对Vx,y∈X和va∈R或C,有 (a) d(x-y,o=d(x (b)d(ax,0)=ld(x:0) 反之,若X是线性空间,d(x,y)是X上的距离,且适合条件a)和(b)
48 确定的实数，记之为 x ，与之对应，并且满足： 0 1 x 0，并且 x =0 x =0; 0 2 x = x ，其中 为任意实(或复)数; 0 3 x + y x + y ， x, y X ， 则称 x 为向量 x 的范数，称 X 按范数 x 成为线性赋范空间. 设 n n=1 x 是 X 中点列，若存在 x X ，s.t. x x n − → 0 (n →)， 则称点列 n n=1 x 依范数收敛于 x ，记为 n n x → lim = x 或 x x n → (n →). 若令 d(x, y)= x − y (x, y X ) ，则由 x − y 0，知 d(x, y) 0. 由 x − y =0 x = y ，知 d(x, y) =0 x = y . 又 z X ，由 x − y = x − z + z − y x − z + y − z ，知 d(x, y) d(x,z)+ d(y,z). 于 是 d(x, y) 是 X 上的距离，且 点列 n n=1 x 依范数收敛于 x 等价于按距离 d(x, y) 收敛于 x . 称 d(x, y) 为 由范数导出的距离. 所以线性赋范空间实际上是一种特殊的度量空间. 若 d(x, y) 是由范数 x 导出的距离，即 d(x, y)= x − y . 则该距离与 线性运算之间有某种关系，即对 x, y X 和 R 或 C ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,0) ( ,0) ,0 , b d x d x a d x y d x y = − = (1) 反之，若 X 是线性空间， d(x, y) 是 X 上的距离，且适合条件 (a) 和 (b)