《泛函分析》课程教学资源：第六章 度量空间和线性赋范空间 §4 柯西点列和完备度量空间 §5 度量空间的完备化 §6 压缩映照原理及其应用

第5次课 教学内容域或课题:§4柯西点列和完备度量空间 目的要求:掌握柯西点列、完备度量空间的概念,学会使用概念和完 备度量空间的充要条件判别完备度量空间 教学过程 设{xn是R中的点列,若vE>0,N=N(E)∈N,s.t.当m,n>N 时,有d(xn,xm)=xn-x<E,则称xn}m是R中的柯西点列 Def1设x=(X,d)是度量空间,n是X中的点列若 VE>0,彐N=N 当m,n>N时,有d(x 则称{ 是X中的柯西点列或基本点列.若度量空间(X,d)中每个柯西点列都收 敛,则称(X,d)是完备的度量空间 有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备,如点列1,1.4,1,41, 412…在R中收敛于√2,在有理数集中不收敛 但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 实因若xn→x,则vE>0,丑N=N6)∈N,s.t.当mn>N时,都 有d(xn,x)<5.因此当 N时,有 d(xn,xn)≤d(xn,x)+d(xmx)<+5.所以n}是柯西点列 例21∞(表有界实或复数列全体)是完备度量空间 证明设{nm是中的柯西点列,其中xm=(5,2,…).vE>0 丑N=N()∈N,s,t.当 1m,n>N时,都有 d( 因此对每个固定的j,当m,n>N时,成立

20 第 5 次课 教学内容(或课题)： §4 柯西点列和完备度量空间 目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完 备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程： 设    n n=1 x 是 1 R 中的点列，若   0，N = N( )，s.t.当 m,n  N 时，有 ( ) n m d x , x = n m x −x   ，则称    n n=1 x 是 1 R 中的柯西点列. Def 1 设 X =( X ，d )是度量空间，    n n=1 x 是 X 中的点列. 若   0, N = N( )，s.t.当 m,n  N 时，有 ( ) n m d x , x   ，则称    n n=1 x 是 X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间( X ，d )中每个柯西点列都收 敛，则称( X ，d )是完备的度量空间. 有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41, 1.412,  在 1 R 中收敛于 2 ，在有理数集中不收敛. 但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列. 实因若 x x n → ，则   0, N = N( )，s.t.当 m,n  N 时，都 有 d(x x) n ,  2  .因此当 n，m  N 时，有 ( ) n m d x , x  d(x x ) n , + d(x x ) m ,  2  + 2  . 所以    n n=1 x 是柯西点列. 例 2  l (表有界实或复数列全体)是完备度量空间. 证明 设    m m=1 x 是  l 中的柯西点列，其中 m x =( , , )  1  2 .  0, N = N( )，s.t.当 m,n  N 时，都有 ( ) m n d x , x = ( ) (n) j m j j sup  −   (1) 因此对每个固定的 j ，当 m,n  N 时，成立

5<E 于是5(),k=1,2,…是柯西数列由于实数集或复数集按差的绝对值定义距 离是完备的故存在实或复数5,st.5→5,(n→∞)令x=(5,2…) 往证x∈l且x→x 在(2)中,令n→∞,得Vm>N时,成立 5≤E (3 因为xn=(m,51),…,5m,)∈1",所以彐Kn>0,s.tv∈N,成立 5mskm(不同的数列,界可能不样.所以与sk51-5|≤+Km 所以x∈P·由(知,m>N时,成立dm,x)=sp-5;|≤6 所以x→x.所以是完备度量空间 例2令C表示所有收敛的实或复数列的全体,Vx=(5,2…)∈C, yy=(n,n,)∈C,令以(x,y)=spk-m小·则d(x,y)≥0且x=y 时,d(x,y)=0.又k,一m)|≤spk-m=a(xy)=0→5,=7(∈N 于是d(xy)=0ex=y.20yz=(,52…)∈C,则由于对j∈N,成 立k-m|sk-s+,-ssup-5 suni -s d(x=)+d(y,).所以sup-|5d(x,=)+d(U,).即 d(x,y)≤d(x,z)+d(,z).所以d(x,y)可定义为C中y两点间的距离于 是C按距离d(x,y)成为度量空间(实际上是的一个子空间).欲证C 是完备度量空间,先证

21 ( ) (n) j m  j −   (2) 于是 (k )  j ，k = 1,2,  是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距 离是完备的，故存在实或复数  j ，s.t. (n)  j → j ( n → )令 x =( , , )  1  2 ， 往证 x   l 且 m x → x . 在(2)中，令 n → ，得 m  N 时，成立 ( ) j m  j −   (3) 因为 m x = ( ) ( ) ( ) ( , ,  , , ) 1 2 m j m m      l ，所以  Km  0，s.t. j   ，成立 (m)  j  Km (不同的数列，界可能不一样). 所以 ( )  −  m  j  j  j  + Km . 所以 x   l . 由(3)知， m  N 时，成立 d(xm , x ) = ( )  −   j m j j sup . 所以 x x m → . 所以  l 是完备度量空间. 例 2 令 C 表示所有收敛的实或复数列的全体，  x =( , , )  1  2  C ，  y = ( , , ) 1 2  C ，令 d(x, y)= j j j sup  − . 则 0 1 d(x, y)  0 且 x = y 时， d(x, y) =0. 又  j − j  j j j sup  − = d(x, y) =0   j = j ( j  ). 于是 d(x, y) =0  x = y . 0 2 z =( , , ) 1 2    C ，则由于对  j  ，成 立  j − j  j j  −  + j j  −   j j j sup  − + j j j sup − = d(x,z) + d(y,z). 所以 j j j sup  −  d(x,z) + d(y,z). 即 d(x, y)  d(x,z) + d(y,z). 所以 d(x, y) 可定义为 C 中  两点间的距离. 于 是 C 按距离 d(x, y) 成为度量空间(实际上是  l 的一个子空间). 欲证 C 是完备度量空间，先证

Th1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间分M是X中的 闭子空间. 证明设M是完备子空间,对每个x∈M,彐M中点列{n, 使xn→x.所以{xn是M中柯西点列所以它在M中收敛由极限的 唯一性,所以x∈M.所以M'cM.即M是X中的闭子空间. 反之,若{xn}m1是M中柯西点列,因X是完备度量空间,则在X中收 敛.即彐x∈X,s.t.x,→x.因为M是X中的闭子空间,所以x∈M 所以{xnm1在M中收敛于是M是完备度量空间 例2的证明由Th1只证C是/中的闭子空间即可. (5,52)∈C(要证 7-5k<E,从而x∈C), 3xn=(1,52,)∈C(n=12…),st.xn→x.所以vE>0, 丑N∈N,s.t.当n≥N时,成立 -9-5(,) 特别取n=N,则对v∈N,成立)-5|<5因为x∈C 所以当j→∞时,5收敛故N1∈N,s.t.切,k≥N1时,成立 )-|<5·所以v,k≥N时,成立 5,-45,-3+-F+ 4<=+248 333 所以加是柯西数列,因而收敛所以x=(152…)∈C.所以C是P中 的闭子空间.由Th1,C是完备度量空间.证毕 作业:P206.14.15中的S,B(

22 Th 1 完备度量空间 X 的子空间 M 是完备度量空间  M 是 X 中的 闭子空间. 证明 设 M 是完备子空间，对每个 x  M  ， M 中点列    n n=1 x ， 使 x x n → . 所以    n n=1 x 是 M 中柯西点列. 所以它在 M 中收敛. 由极限的 唯一性，所以 x  M . 所以 M   M . 即 M 是 X 中的闭子空间. 反之，若    n n=1 x 是 M 中柯西点列，因 X 是完备度量空间，则在 X 中收 敛. 即  x  X ，s.t. x x n → .因为 M 是 X 中的闭子空间，所以 x  M ， 所以    n n=1 x 在 M 中收敛. 于是 M 是完备度量空间. 例 2 的证明 由 Th 1 只证 C 是  l 中的闭子空间即可.  x = ( , , )  1  2  C (要证  j − k   ，从而 x  C )，  n x = ( ) ( ) ( , , ) 1 2 n n    C ( n = 1,2,  )，s.t. x x n → . 所以   0， N ，s.t.当 n  N 时，成立 ( ) j n  j −  ( ) j n j j sup  − = d(x x) n ,  3  . 特别取 n = N ，则对 j   ，成立 ( ) j N  j −  3  .因为 N x  C , 所以当 j →  时， (N)  j 收敛. 故  N1   ，s.t. j , k  N1 时，成立 ( ) (N ) k N  j −  3  . 所以 j ,k  N1 时，成立  j − k  (N )  j − j + ( ) (N ) k N  j − + ( ) k N  k −  3  + 3  + 3  = . 所以    j=1  j 是柯西数列，因而收敛. 所以 x =( , , )  1  2  C . 所以 C 是  l 中 的闭子空间. 由 Th 1，C 是完备度量空间. 证毕. 作业： P 206. 14. 15 中的 S,B(A)

作业题解:14E=1,丑N∈N,s.t.当m,n>N时,有d(xn,xn)<1 特别当n>N时,有d(xn,x)<1.又n≤N时,d(xn,x)只有有限个值 故彐M>0,s.t.d(xn,x1)≤M.因此vn,m∈N,成立 d(xn,xn)≤d(xn,x1)+d(x,xn)≤mx2,1+M2M}所以x是 有界点列 15设是S中的柯西点列,x,=(1,2,,即vs>0 丑N∈N,s.t.Vm,n>N时,成立 <E 所以Ⅴk∈N,Vm,n>N时,成立 <2kE.因为v给a>0 对于每个固定的k,3E:0<E<⑦,然后由这个E,按不等式(*), 1+σ 丑N∈N.所以Vm,n>N时,对这个固定的k,成立 1+σ 所以-<a(mn>N).所以}是实(复)数集中的柯西点 列.而实(复)数集完备,所以收敛,设出→5(n→∞)记 x=(5152…),则xn→x.而x∈S,所以S完备 设{x是B(4)中的柯西点列,xn=fn(0),t∈A VE>0,丑N∈N,s.t.当m,n>N时,成立supf()-fm(t)<E.所以 Vm,n>N及t∈A,成立

23 作业题解： 14  =1，N ，s.t.当 m,n  N 时，有 ( ) n m d x , x  1, 特别当 n  N 时，有 ( ) 1 , n N+ d x x  1. 又 n  N 时， ( ) 1 , n N+ d x x 只有有限个值 故 M  0,s.t. ( ) 1 , n N+ d x x  M . 因此 n,m   ，成立 ( ) n m d x , x  ( ) 1 , n N+ d x x + ( ) N m d x , x +1  max2,1+ M,2M. 所以    n n=1 x 是 有界点列. 15 设    n n=1 x 是 S 中的柯西点列， n x = ( ) ( ) ( , , ) 1 2 n n   . 即   0, N ， s.t.  m,n  N 时，成立 ( ) n m d x , x = ( ) ( )  ( ) ( )  = + − − 1 2 1 1 k m k n k m k n k k       (  ) 所以 k   ， m,n  N 时，成立 ( ) ( ) ( ) (m) k n k m k n k     + − − 1   k 2 . 因为  给   0， 对于每个固定的 k ，  ：0      2 1+ 1 k ，然后由这个  ，按不等式(  )， N . 所以  m,n  N 时，对这个固定的 k ，成立 ( ) ( ) ( ) (m) k n k m k n k     + − − 1    1+ . 所以 ( ) (m) k n  k −   ( m,n  N ). 所以    j=1  j 是实(复)数集中的柯西点 列. 而实(复)数集完备, 所以 ( )    n=1 n  k 收敛，设 (n )  k → k ( n → ). 记 x = ( , , )  1  2 ，则 x x n → . 而 x  S ，所以 S 完备. 设    n n=1 x 是 B(A) 中的柯西点列， n x = f (t) n ，t  A.   0，N ，s.t.当  m,n  N 时，成立 f (t) f (t) n m t A −  sup   . 所以  m,n  N 及 t  A ，成立

()-fm()< 因此在集A上,函数列()}=1收敛,设f()→f(0).由(*)式,令 m→>得n>N时,()-f()≤E.所以n>N时, f(sn(0)-fm0)+UfO≤E+M(由于Un()=收敛,从而M存在 所以f()∈B(4),又已证f()→f()所以B(4)是完备度量空间 第6次课 教学内容(或课题):柯西点列和完备度量气间(续) 目的要求:再次巩固上次课学习的概念与定理,进步掌握使用概 念及定理判别完备度量空间的常用方法 教学过程 ab是完备的度量空间 证明设xn,n=12…是Cb中的柯西点列VE>0, 丑N∈N,s.t.当Vm,n>N时,成立 max -xn(<8 所以v∈[ab,有()-x1()<E.于是当固定时,n(O)=2 是柯西数列由实(复)数集的完备性,3x(),s.t.xn()→x().往证 x()∈Cb,xn→x实因在(4)中令m→∞,得知n>N时,成立

24 f (t) f (t) n − m   . (  ) 因此在集 A 上，函数列  ( )  n n=1 f t 收敛，设 f (t) n → f (t). 由(  )式，令 m→ 得 n  N 时， f (t) − f (t)   n . 所以 n  N 时， f (t)  f (t) f (t) n − m + f (t) n   + M (由于  ( )  n n=1 f t 收敛，从而 M 存在). 所以 f (t) B(A) ，又已证 f (t) n → f (t) 所以 B(A) 是完备度量空间. 第 6 次课 教学内容(或课题)： 柯西点列和完备度量空间(续) 目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概 念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程： Ca,b 是完备的度量空间. 证明 设 n x ，n = 1,2,  是 Ca,b 中的柯西点列.   0， N ，s.t.当  m,n  N 时，成立 atb max x (t) x (t) m − n   . (4) 所以 t  a,b ，有 x (t) x (t) m − n   . 于是当 t 固定时，  ( )  n n=1 x t 是柯西数列.由实(复)数集的完备性，  x(t)，s.t. x (t) n → x(t). 往证 x(t)  Ca,b， n x → x 实因在(4)中令 m→ ，得知 n  N 时，成立