第六章度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题):§6.1度量空间的进一步例子 目的要求:在复习第二章度量空间基本概念前提下,要求进 步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等 教学过程: 复习第二章度量空间的概念 设X是个集合,若对于x,y∈x,都有唯一确定的实数d(x,y)与 之对应,且满足1°d(x,y)≥0,d(x,y)=0台x=y;20 d(x,y)≤d(x2)+d(v,z)对x,y,z∈X都成立,则称(X,d)为度量 空间或距离空间,X中的元素称为点,条件2称为三点不等式 欧氏空间R”对R中任意两点x=(x1,x2,…,x)和 y=(,y2…yx),规定距离为d(xy)∑(x-x) c[b]空间Cab表闭区间[a上实值(或复值)连续函数的全 体对Cab]中任意两点x,y,定义d(xy)=mx()-y( P空间记P={x=2<}设x=氏, y=加∈P,定义d(y)=∑x-y) 二度量空间的进一步例子 例1设X是任意非空集合,对于x,y∈X,令
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第 1 次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一 步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设 X 是个集合，若对于 x, y X ，都有唯一确定的实数 d(x, y) 与 之对应，且满足 0 1 d(x, y) 0，d(x, y) =0 x = y ; 0 2 d(x, y) d(x,z) + d(y,z) 对 x, y,z 都成立， 则称( ，d )为度量 空间或距离空间， 中的元素称为点，条件 0 2 称为三点不等式. 欧氏空间 n R 对 n R 中任意两点 ( ) n x x , x , , x = 1 2 和 ( ) n y y , y , , y = 1 2 ，规定距离为 d(x, y)= ( ) 2 1 1 2 − = n i i i x y . Ca,b 空间 Ca,b 表闭区间 a,b 上实值(或复值)连续函数的全 体.对 Ca,b 中任意两点 x, y ，定义 d(x, y)= x(t) y(t) a t b − max . 2 l 空间 记 2 l = = = = 1 2 1 k k k k x x x .设 = = k k 1 x x ， = = k k 1 y y 2 l ，定义 d(x, y)= ( ) 2 1 1 2 − i= i i x y . 二 度量空间的进一步例子 例 1 设 是任意非空集合，对于 x, y ，令
≠y 0,当x=y 容易验证1°d(x,y)≥0,d(x,y)=0分x=y;2° d(xy)≤d(x,)+d(v,z)对vx,y,z∈X都成立.称(X,d)为离散的度 量空间.由此可见,在任何非空的集合上总可以定义距离,使它成为 度量空间 例2序列空间S 令S表示实数列(或复数列)的全体,对wx={xk1,y={v1, 令(xy=∑1x4-yA,显然右边的级数总是收敛的.易知 d(x,y)≥0,且d(x,y)=0台x=y.即d(x,y)满足条件° 对Vab∈C,先证 实因令(-1+1(0+2,则因为()=a+p>0,所 以函数f()=,在+∞)上单调递增.又因为|a+b≤+|,所 以有 a ≤ a+b 1+a+b 1+a +6 1+a+b 再令={1,a=x4-二,b=x4-y,则a+b=x4-y,由 上述已证的不等式,得 Vk Vk
2 d(x, y)= = x y x y ，当 ，当 0 1 ; 容易验证 0 1 d(x, y) 0，d(x, y) =0 x = y ; 0 2 d(x, y) d(x,z) + d(y,z) 对 x, y,z 都成立. 称( ，d )为离散的度 量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为 度量空间. 例 2 序列空间 S 令 S 表示实数列(或复数列)的全体，对 = = k k 1 x x ， = = k k 1 y y ， 令 d(x, y)= =1 2 1 k k k k k k x y x y + − − 1 . 显然右边的级数总是收敛的. 易知 d(x, y) 0 ，且 d(x, y) =0 x = y . 即 d(x, y) 满足条件 0 1 . 对 a,b C ，先证 + + + a b a b 1 a a 1+ + b b 1+ . 实因令 ( ) t t f t + = 1 ( 0 t + )，则因为 ( ) 2 (1 ) 1 t f t + = 0 ，所 以函数 ( ) t t f t + = 1 在 0,+) 上单调递增. 又因为 a + b a + b ，所 以有 + + + a b a b 1 a b a b + + + 1 = a b a 1+ + + a b b 1+ + a a 1+ + b b 1+ . 再令 = = k k 1 z z ， k k a = x − z ， k k b = z − y ，则 k k a + b = x − y . 由 上述已证的不等式，得 k k k k x y x y + − − 1 k k k k x z x z + − − 1 + k k k k z y z y + − − 1
由此推得2°d(x,y)≤d(x)+d(,z)对x,y,∈S都成立.故S按 d(xr,y)成一度量空间 例3有界函数空间B() 设A是一个给定的集合,令B(4)表示A上有界实值(或复值)函数 的全体x,y∈B(4),定义d(x,y)=spr)-y).显然d(xy)≥0 且d(x,y)=0eⅥ∈A成立x()=y(),即d(xy)满足条件1°.又v∈A, 有()-y(≤x()-=()+1()-y()≤sup()-()X+sup|()-y( 所以 suprl()-y()≤supl(-(+supl()-y().即d(x,y)满足条 件20.特别当A=[b时,B(小=B{ab 例4可测函数空间M(x) 设M(X)为X上实值(或复值)的 Lebesgue可测函数的全体,m为 Lebesgue测度,若m(X)<∞,对任意两个可测函数f()及g(),由于 ()-g( 1+()-g() <1,故不等式左边为X上可积函数.令 r1+f()-g() 若把M(X)中两个几乎处处相等的函数视为M(x)中同一个元素,则 d(f,g)≥0且d(,g)=0f=g,即d(,g)满足条件1°.其次(参考 例2)
3 由此推得 0 2 d(x, y) d(x,z) + d(y,z) 对 x, y,z S 都成立. 故 S 按 d(x, y) 成一度量空间. 例 3 有界函数空间 B(A) 设 A 是一个给定的集合，令 B(A) 表示 A 上有界实值(或复值)函数 的全体. x, y B(A) ，定义 d(x, y)= x(t) y(t) t A − sup .显然 d(x, y) 0， 且 d(x, y) =0 t A 成立 x(t) = y(t) ，即 d(x, y) 满足条件 0 1 .又 t A， 有 x(t)− y(t) x(t)− z(t) + z(t)− y(t) x(t) z(t) t A − sup + z(t) y(t) t A − sup 所以 x(t) y(t) t A − sup x(t) z(t) t A − sup + z(t) y(t) t A − sup . 即 d(x, y) 满足条 件 0 2 . 特别当 A = a,b 时， B(A)= Ba,b. 例 4 可测函数空间 M(X ) 设 M(X ) 为 X 上实值(或复值)的 Lebesgue 可测函数的全体， m 为 Lebesgue 测度，若 m(X ) ，对任意两个可测函数 f (t) 及 g(t) ，由于 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 + − − f t g t f t g t ，故不等式左边为 X 上可积函数. 令 d(f , g)= ( ) ( ) ( ) ( ) + − − X dm f y g t f t g t 1 . 若把 M(X ) 中两个几乎处处相等的函数视为 M(X ) 中同一个元素，则 d(f , g) 0 且 d(f , g) =0 f = g ，即 d(f , g) 满足条件 0 1 . 其次(参考 例 2)
()-g( d(,g)1+f0)-8<hm≤ g\dm dm+ h Jx 1+ x1+ dm=d(,)+a(g),对vf,g,h∈M(X)都 成立.即d(,g)满足条件2°.故M(x)按上述距离d(f,g)成为度量 空间. 作业P205.2.4 作业提示2.与例2处理方法类似 4.利用_当x≥0时的递增性 1+x 第2次课 教学内容(或课题):§6.2(1)度量空间中的极限 目的要求:掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点 导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间中点列收 敛的具体意义 教学过程: 设(X,d)为度量空间,d是距离,定义 ∈Ⅺd(x,x)<E 为x的以E为半径的开球,亦称为x的E邻域 例1设(X,d)是离散的度量空间,d是距离,则
4 d(f , g)= ( ) ( ) ( ) ( ) + − − X dm f y g t f t g t 1 + − − + + − − X dm h g h g f h f h 1 1 = + − − X dm f h f h 1 + + − − X dm h g h g 1 = d(f ,h) + d(h, g) ，对 f , g,h M(X ) 都 成立. 即 d(f , g) 满足条件 0 2 . 故 M(X ) 按上述距离 d(f , g) 成为度量 空间. 作业 P 205. 2. 4. 作业提示 2. 与例 2 处理方法类似. 4.利用 x x 1+ 当 x 0 时的递增性. 第 2 次课 教学内容(或课题)： §6.2(1) 度量空间中的极限 目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、 导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收 敛的具体意义. 教学过程： 设 (X,d) 为度量空间， d 是距离，定义 ( , ) 0 B x =x X d(x, x0 ) 为 0 x 的以 为半径的开球，亦称为 0 x 的 邻域. 例 1 设 (X,d) 是离散的度量空间， d 是距离，则
B(x,)={kn.当0<651 x,当E>1 仿§22-§23,设E是度量空间(X,d)中的一个子集,x是X中 点若存在x的某一邻域U(x),s.t.U(x0)cE,则称x为E的内 点若x是CE的内点,则称x为E的外点.若vU(x0)内既有E的点 又有非E的点,则称x0为E的边界点.若vU(x0)内都含有无穷多个属 于E的点,则称x为E的聚点.E的全体聚点所成集合称为E的导集, 记为E'.EUE'称为E的闭包,记为E.若E的每一点都是E的内点, 则称E为开集.若E'cE,则称E为闭集 例2在欧氏空间R中,记A为全体有理数点的集合,B为全体无 理数点的集合.则集合A及B均无内点,均无外点;Wx∈R既是A又 是B的界点,既是A又是B的聚点;R既是A又是B的导集,既是A又 是B的闭包;A、B既非开集又非闭集.若如同例1,将集合R离散 化,则vx∈A都是A的内点,vy∈B都是B的内点,因此A、B在离 散空间中均为开集;A、B均无界点;A之外点集合为B,B之外点 集合为A;A、B均无聚点,因此A′=Φ,B'=Φ,A=A',B=B', 故A、B均为闭集 设x=是(x,d)中点列,若x∈x,s.t lim d(xx=0 则称{xnm1是收敛点列,x是点列{nm1的极限 5
5 ( , ) 0 B x = , 1 , 0 1; 0 当 当 X x 仿§2.2-§2.3，设 E 是度量空间 (X,d) 中的一个子集， 0 x 是 X 中 一点若存在 0 x 的某一邻域 ( ) 0 U x ，s.t. ( ) 0 U x E ，则称 0 x 为 E 的内 点. 若 0 x 是 CE 的内点，则称 0 x 为 E 的外点. 若 ( ) 0 U x 内既有 E 的点 又有非 E 的点，则称 0 x 为 E 的边界点. 若 ( ) 0 U x 内都含有无穷多个属 于 E 的点，则称 0 x 为 E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为 E 的导集， 记为 E. E E 称为 E 的闭包，记为 E . 若 E 的每一点都是 E 的内点， 则称 E 为开集. 若 E E ，则称 E 为闭集. 例 2 在欧氏空间 1 R 中，记 A 为全体有理数点的集合， B 为全体无 理数点的集合.则集合 A 及 B 均无内点，均无外点; x 1 R 既是 A 又 是 B 的界点，既是 A 又是 B 的聚点; 1 R 既是 A 又是 B 的导集，既是 A 又 是 B 的闭包; A 、 B 既非开集又非闭集. 若如同例 1，将集合 1 R 离散 化，则 x A 都是 A 的内点， y B 都是 B 的内点，因此 A 、B 在离 散空间中均为开集; A 、 B 均无界点; A 之外点集合为 B ， B 之外点 集合为 A ; A 、B 均无聚点，因此 A = ，B = ，A A ，B B ， 故 A、 B 均为闭集. 设 n n=1 x 是 (X,d) 中点列，若 x X ，s.t. lim ( , ) = 0 → d x x n n ( ) 则称 n n=1 x 是收敛点列， x 是点列 n n=1 x 的极限