例4 计算 ∫。 dx 1+ 解 x- dx=In(1+x)o x lim -In(1+x)-o x→)+ 2 故积分 dx发散 01+x
例 4解 d . 1 0 2 + + x xx 计算 + + = + + 0 2 0 2 ln(1 ) 21 d 1 x x xx ln(1 ) 0 21 lim 2 = + − →+ x x = + , d . 1 0 故积分 2 发散 + + x xx
+ 例 计算「 cosxd x 解∫「 + cosrdx=sin x 0 lim sin x-sin o x→)+00 由于 lim sin x不存在,故原积分 Jo cosxd:发散
例 5解 cos d . 0+ 计算 x x + + = 0 0 cos x d x sin x = lim sin −sin 0 , →+ x x lim sin cos d . 0 由于 不存在，故原积分 发散 + →+ x x x x
d x 例5 讨论P一积分 (a>0)的敛散性 其中P为任意常数 解当P=1时 tood x=In xl do= lim In x| -Ina=+oo 故p=1时,P-积分发散 当P≠1时 O,p<1,发散 +∞dxx1-P ∞ a x l-p P p>1.收敛
例 5解 ( 0) d 讨论 －积分 的敛散性， + a x x P a p 其中 P为任意常数. 当 P =1 时: ln | | d + + = a a x xx x a x = lim ln | | −ln →+ = + , 故 p =1 时，P −积分发散. 当 P 1 时: + − + − = a p a p x xx 1 d 1 , 1. 1 , 1, 1 − + = − p pa p p 发散 收敛
综上所述, P一积分 cood x (a>0) P-积分当p>1时收敛;当p≤1时发散
综上所述， P −积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. ( 0) d + a x x P a －积分 p
2.无穷积分的基本运算性质 其它类型的无穷 设以下所有出现的积分均存在,则积分的情形类仙 于此 +∞ ().f(x)dx f(xdx +∝ (2) f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx CER + + +∞ (3)[af(x)±Bg(x)]dx=af(x)dx±Bg(x)dx +∞ +∞ (4).u(x)v (x)dx=u(x)v(x) +∞ (x)v (x)dx (5)无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 (6)若在[a,+∞)上f(x)≤g(x),则 f(x)dx≤ g(xdx
2. 无穷积分的基本运算性质 设以下所有出现的积分均存在，则 (2) f (x)d x f (x)d x f (x)d x c R. c c a a = + + + (3) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d . + + + = a a a f x g x x f x x g x x (4) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d . + + + = − a a a u x v x x u x v x u x v x x (5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算. (1) ( )d ( )d . + + = − a a f x x f x x (6) [ , ) ( ) ( ), ( )d ( )d . + + + a a 若在 a 上 f x g x 则 f x x g x x 其它类型的无穷 积分的情形类似 于此