类似地可定义: (1) f(x)dx=lim I f(x)dx (B<b) B→ +∞ (2)f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx lim f(x)dx+lim f(x)dx B→-∞JB A→-Jc 若「f(x)dx与「f(x)dx同时收敛,则称f(x)dx收敛 一0 若」f(x)dx与「()dx至少有一个发散,则」f(x)dx发散 对」f(x)dx而言,由定积分对区间的可加性, 显然其收敛性与c值无关为方便起见,通常取c=0
类似地可定义： (1) f (x)d x lim f (x)d x (B b). b B B b = − →− + − + − (2) ( )d = ( )d + ( )d c c f x x f x x f x x lim ( )d lim ( )d . →− →− = + A A c c B B f x x f x x 若 ( )d 与 ( )d 同时收敛， 则称 ( )d 收敛. + − + − f x x f x x f x x c c 若 ( )d 与 ( )d 至少有一个发散, 则 ( )d 发散. + − + − f x x f x x f x x c c 对 ( )d 而言，由定积分对区间的可加性， + − f x x 显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c = 0
例候 计算 xe +∞ e dx=l A+00“e计 u=x Im d A→+∞2J0 能否将这里的书 -ul A 写方式简化? A→)+∞2 e+ A→)+∞2
例 1解 d . 0 2 + − x e x 计算 x − →+ + − = A x A x x e x x e x 0 0 d lim d 2 2 2 令 u = x − →+ = 2 0 d 21 lim A u A e u2 0 ( ) 21 lim u A A e − →+ = − ) 21 21 lim ( 2 = − + − →+ A A e . 21 = 能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见,若F(x)是∫(x)的一个原函数,则约定 f(dx=F(x)o = lim F(x)-F(a f(xdx= F(x)b=F(6)-lim F(x) f(xdx= F(x)l+oo= lim F(x)-lim F(x) x→-0 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了
为书写方便起见，若 F(x) 是 f (x)的一个原函数，则约定 ( )d ( ) lim ( ) ( ). f x x F x 0 F x F a a x = = − →+ + + f (x)d x F(x) F(b) lim F(x). x b b →− − − = = − f (x)d x F(x) lim F(x) lim F(x). x→+ x→− + − + − = = − 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了
例2计算+x ∞ 解 dx arctan x 01+x 0 lim arctanx-arctan 0 x→)+0o
例 2解 . 1 d 0 2 + + xx 计算 + + = + 0 0 2 arctan 1d x xx = lim arctan −arctan 0 →+ x x . 2 =
囫3计算∫x 1+x 解∫ +∞dx arctan x +∞ ∞1+x lim arctan x- lim arctan x X→)+00 1+x
例 3解 . 1 d 2 + − + xx 计算 + − + − = + arctan 1d 2 x xx lim arctan x lim arctan x x→+ x→− = − ) 2 ( 2 = − − = . O x y 2 1 1 x y + = 1