/6计算 nx d x nx 例k x 解运用分部积分法 +oonx nx +∞ idx ro dx nx lm 0 X
例6 解 d . ln 1 2 + x x x 计算运用分部积分法 ln x 2 1 x x 1 x 1 − + + + = − + 1 1 2 1 2 d ln 1 d ln x x x x x x x 0 1 lim ln lim = = →+ x →+ x x x x 罗 + = 1 2 d x x + = − 1 1 x =1
刃7计算∫=4(>0 解]令x=aet,则x:20→+时,t:→n,故 d x r丌/2 a sec t tantdt 2a(y2a2)3/2 丌/3 a tan t I rT/2 costdt 2/3 sin t a sin t 3 /3a2·(原积分收敛)
例 7解 ( 0). ( ) d 2 2 2 3/ 2 − + a x ax a 计算 , 3 2 令 sec , 则 : 2 时, : 故 x = a t x a → + t → tan sec tan d ( ) d / 2 /3 3 3 2 2 2 3/ 2 = − + a t a t t t x ax a = / 2 /3 2 2 sin 1 cost d t t a sin 1 1 /2 /3 2 a t − = . 3 2 32 a − = (原积分收敛)
例3计算∫1x 解 则dx dt 且x:0+→>+∞时,t:+∞→>0,故 +∞dx dt_+(t+1-1)dt x 1+t 0 1+t 1+t +∞ d t 01+t 1+t 1+ dt 0 01 t-+
例 8解 . 1d 0 4 + + xx 计算 d d 1 令 ，则 2 ，t t x t x = = − 且 x : 0+ → + 时，t : + → 0+，故 + + + ++ − = + = + 0 4 2 0 4 2 0 4 1 ( 1 1)d 1 d 1d t t t t t t xx + + + − ++ = 0 4 0 42 d 1 1 d 11 t t t tt d , 1 1 d 11 1 0 4 0 2 2 2 + + + − ++ = x x t t t t
1+ 故 d t 1+x42 u=t 则du=(1+)d 且t:0+→+00时,u:-0→>+0,从而, d x d u 01+ +2 ∞ arctan 2√2 2√2
+ + + + = + 0 2 2 2 0 4 d , 1 1 1 2 1 1 d t t t t x x 故 )d , 1 , d (1 1 2 t t u t 令 u = t − 则 = + 且 : 0 → + 时， : − → + , 从而, + t u + − + + = + 2 0 4 2 d 2 1 1 d u u x x + − = 2 arctan 2 1 2 1 u . 2 2 2 2 2 1 2 1 = = − −
3.无穷积分敛散性的判别法 实际上,我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式 +∞ f(x)dx=lim f(odt x→)+a b f(x)dx= lim f(o)dt x→-∞Jx 这样可以利用积分上限函数来进行有关的讨论
3. 无穷积分敛散性的判别法 实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式: ( )d lim ( )d ; →+ + = x a x a f x x f t t ( )d lim ( )d . − →− = b x x b f x x f t t 这样可以利用积分上限函数来进行有关的讨论