3)|/()=hmy=wh=lmn△m 2→>0|z-20|4→0|△2 称为曲线C在z0的伸缩率 上式表明f()是两象点间距离和两原象点间距离比 值的极限,从而可视为映射f()在点处沿曲线C的伸 缩率它与曲线C的形状及方向无关所以这种映射又具有 伸缩率不变性 上式可视为/()-(=)() /(a)>1表示从出发的任一无穷小距离伸长 f(a)k<1,表示从出发的任一无穷小距离缩短 (=)=-1,表示从z出发的任一无穷小距离不变
11 3) 称为曲线C在z0的伸缩率. 上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比 值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸 缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有 伸缩率不变性. 上式可视为 f z f z f z z z ( ) − − ( 0 0 0 ) ( ) f z ( 0 ) 1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离伸长； f z ( 0 ) 1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离缩短； f z ( 0 ) =1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离不变。 | | | | lim | | | | | ( )| lim 0 0 0 0 z w z z w w f z z z z D D = − − = → D →
例1求=(z)=23在=0,=i处的导数值,并说明几何意义。 解:1=fz)=3在全平面解析,f(x)32 1)f()=32=-3=3e在zi处具有伸缩率不变和保角性。 伸缩率为3,旋转角为兀 2)f(0)=0,(-)=z2在=0处显然不具有保角性 定理一设函数1=f()在区域D内解析,z为D内的一点,且 f(=0)≠0,则映射=f(2)在=具有两个性质 1)保角性,即通过=0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变 2)缩率的不变性即通过的任何一条曲线的伸缩率均 为∫(=0)而与其形状和方向无关
12 例1 求w= f(z)=z 3 在 z=0, z=i 处 的导数值,并说明几何意义。 解： w= f(z)=z 3在全平面解析， f '(z)=3 z 2 。 ( ) 2 1 3 3 3 i f i i e ） = = − = 在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。 伸缩率为3，旋转角为 。 2) 0 0, 0 f f z z ( ) = = ( ) 3 =z 在 处显然不具有保角性。 定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f '(z0 )0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质: 1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。 2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f '(z0 )|而与其形状和方向无关
定理一的几何意义 O 在D内作以=为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到 个以0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应 边长之比近似为(=0),有一个角相等,则这两个三角形近 似相似
13 在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一 个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应 边长之比近似为|f '(z0 )|, 有一个角相等, 则这两个三角形近 似相似. O x y O u (z) v (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2 定理一的几何意义
O 伸缩率1(2)W=由此看出映射v=f(=) 也将很小的圆|z-0=0近似地映射成圆 1v-1=f(=0)6
14 O x y O u v (z) (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2 | | | ( )| . | | ( ) | | | | | ( )| 0 0 0 0 0 w w f z z z w f z z z w w f z − = − = = − − 也将很小的圆 近似地映射成圆 伸缩率 由此看出映射
2.共形映射的概念 定义设函数=f(2)在=的邻域内是一一的,在=具有保 角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在=是保形的,或 称1=f()在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D内的每 点都是保形的,就称=f(z)是区域D内的共形映射. 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保 形映射;而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而 旋转方向相反的映射称为第二类共形映射。 例如w=2是第二类共形映射
15 2. 共形映射的概念 定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具有保 角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或 称w = f (z)在z0是共形映射. 如果映射w = f (z)在D内的每 一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的共形映射. 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保 形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而 旋转方向相反的映射称为第二类共形映射。 例如 w z = 是第二类共形映射