《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-3 非齐次线性方程组

例2：求解方程组 1-2x2+3x3-x4=1, 3X1-X2+53-3x4=2, 2x1+X2+2x3-2x4=3. 解：对增广矩阵进行初等行变换 [1-23-113-3r「1-23-11 A=3-15-32 05-40-1 212-235-2r05-401」

例2：求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1, 3 5 3 2, 2 2 2 3. x x x x x x x x x x x x  − + − =   − + − =  + + − =  1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A   − −   = − −       − 2 1 3 1 3 1 2 3 1 1 ~ 0 5 4 0 1 2 0 5 4 0 1 r r r r − − −     − −   − −     解： 对增广矩阵进行初等行变换

1-23-11 -2 05-40-1 00002 可见R()=2,R(A)=3,故原方程组无解. 例3：求解方程组 x1-x2-X3+x4=0, x1-x2+x3-3x4=1, 1 X-x2-2x3+3x4=-2

3 2 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 ~ 0 0 0 0 2 r r   − − −   − −       可见R A R A ( ) 2, ( ) 3, . = = 故原方程组无解 例3：求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 3 1, 1 2 3 . 2 x x x x x x x x x x x x  − − + =   − + − =   − − + = − 

解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 [1-1-110 1-1-1 1 0 00 2 -4 4= 1-1 1 -31 1-1 2300 -1 2 2 -1 -1 10 -1 0-1 1 2 2 1-2 +3 0 -2 1 0 0 -2 2 00000 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 2 A   − −   − − =     − − −     2 1 3 1 1 1 1 1 0 0 0 2 4 1 ~ 1 0 0 1 2 2 r r r r   − − −   −     −   − −   解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 2 3 2 1 1 1 1 1 0 2 1 ~ 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 r r r    − −     −   +     1 2 1 1 1 0 1 2 1 ~ 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 r r   − −   +     −      

可见R(A)=R(A)=2,故原方程组有解 于是得与原方程组同解的方程组 1 1 X1-X2-尤4= x1=七2+x4+ 即 2 1 x3-2x4= 2 x=2,+2 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 1 0 51 0 52 2 0 1

于是得与原方程组同解的方程组 1 2 4 3 4 1 , 2 1 2 . 2 x x x x x  − − =    − =  可见R A R A ( ) ( ) 2, . = = 故原方程组有解 1 2 4 3 4 1 , 2 1 2 . 2 x x x x x  = + +    = +  即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 1 1 0 0      =         2 1 0 2 1      =        