《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-3 非齐次线性方程组

x=k51+k252++km-5m-,+n 而由性质4.3.2可知，对任何数k1,k2,km- 上式总是方程(4-1)的解， 1.于是方程组(4-1)的通解为 x=k51+k252+.+km-,5m-r+7 其中气1,52，5n,是(4-5)式的基础解系， k1,k2,km-r为任意数，n是(4-1)的特解

上式总是方程(4-1)的解, * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 而由性质4.3.2可知,对任何数 1 2 , , , n r k k k  − 1 2 , , , n r    其中  − 是(4-5)式的基础解系, * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 1.于是方程组(4-1)的通解为 1 2 , , , n r k k k  − 为任意数, (4 1) .  * 是 − 的特解

2.例题1.求解方程组 X1+X2-3x3-x4=1, 3x1-X2-3x3+4x4=4, x1+5x2-9x3-8x4=0. 解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 11-3-113-3r 11-3-11 4- 3 -1 -3 44 0-4 6 71 15-9 -8 0 3-04-6-7-1

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x  + − − =   − − + =   + − − = 2.例题1.求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A   − −   = − −       − − 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r − − −     −   − − − −     解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

「11-3 -1 1 3 3 5+2 0 1 3 7 1 2 4 4 01 1-2 3 7 1 2 4 4 01 5x-300000 2 4 00 0 00 于是得与原方程组同解的方程组 3 3 5 x 2 3 一X4= 3 7 1 2 - 2 3 4 4

3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r   − − +     −−−      −   1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r   −   −     −−−       于是得与原方程组同解的方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x  − + =    − − = − 

3 3 5 X1= 4+ 即 2 4 3 7 1 X2 3 2 4 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3 3 2 4 3-2 7 51 52= 0 0 1

1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x  = − +    = + −  即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 3 2 3 2 1 0          =           2 3 4 7 4 0 1    −      =          

取X3=X4=0 5-4 原方程组的一个特解 n'= 14 0 因此，原方程组的通解为 3 5-4 =k1 3-23-2 +k2 7 + 1 0 140 0」 1 0 其中k,k,为任意数

取 x x 3 4 = = 0 原方程组的一个特解 * 5 4 1 4 0 0          = −           1 2 1 2 3 4 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 1 0 0 0 1 0 x x k k x x       −                         = + + −                                     因此,原方程组的通解为 其中k1 ,k2为任意数