861.符号法* 6/48 R2t2 R3t3 R ERER 2!133!-L4!+ {1 (R/Lt Heaviside就如此解出了微分方程 作为无线电工程师, Heaviside不怎么考虑数学的严谨,他取得的 成绩使当时数学家大为吃惊.但是, Heaviside也作出了一系列计算错 误,后来由 Jeffreys指出乃是没有注意到p与1/p的次序不可交换, 1 pf(1)=/dr(r)=f()-f(0) d f(t) dt dτf(τ)=f(t) 后来,人们发现了符号法跟 Laplace变换的联系,符号法才脱离 了粗糙的形式而建立在 Laplace变换的基础上,通常把它改称为运算 微积.积肥在运算微积中,字母p不再解释为算符,而是代表一个复 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 6/48 = E R R L t − R 2 L2 t 2 2! + R 3 L3 t 3 3! − R 4 L4 t 4 4! + · · · = E R 1 − e −(R/L)t . Heaviside ÒXd)Ñ ©§© Ã>ó§§Heaviside ØNoÄêÆî>§¦ ¤1¦êÆ[¯¯©´§Heaviside Ñ XO ا5d Jeffreys ÑD´vk5¿ p 1/p gSا 1 p p f(t) = Z t 0 dτ f 0 (τ) = f(t) − f(0), p 1 p f(t) = d dt Z t 0 dτ f(τ) = f(t). 5§<uy ÎÒ{ Laplace CéX§ÎÒ{âøl o÷/ª ïá3 Laplace CÄ:þ§Ï~r§U¡$ È©È3$È¥§i1 p Ø2)ºÎ§ ´LE
861.符号法* 7148回 变数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
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862. LAPLACE变换 8/48圓 86,2 Laplace变换 Laplace变换常用于初值问题,即已知某个物理量在初始时刻 =0的值f(0),而求解它在初始时刻后的变化情况f(t).至于在初始 时刻之前的值,我们不感兴趣,可以令其为零,即f(t)=0,t<0 对于定义在(0,∞)上的函数,并不满足 Fourier积分和变换的条 件.怎么办呢 方法设法加工不满足 Fourier变换条件的函数,使其满足 Fourier变 换条件,从而用 Fourier变换 加工摆脱 Fourier变换存在性的两个限制条件 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C 8/48 §6.2 Laplace C Laplace C~^uЯK§=®,Ônþ3Щ t = 0 f(0)§ ¦)§3ЩCz¹ f(t)©u3Щ c§·Øa,§±-Ù"§= f(t) = 0, t < 0© éu½Â3 (0, ∞) þ¼ê§¿Ø÷v Fourier È©ÚC^ ©NoQ© { {\óØ÷v Fourier C^¼ê§¦Ù÷v Fourier C ^§l ^ Fourier C¶ \ó {ø Fourier C35ü^µ
62. LAPLACE变换 9/48 1由 Heaviside函数H(t)的特点,构造满足 Dirichlet条件的函 数 0 f(t)A(t) (6.2-1) 2用指数函数e(>0)当t→∞时快速衰减的特点,构造 满足绝对可积条件的函数 g(t)=f()H(t)e,(-0<t<∞). (6.2-2) e-0称为收敛因子.对于实际问题,只要σ足够大,可保证 上面构造的函数g(t)是绝对可积的.从而可对加工后的函数 g(t)进行 Fourier变换 G() 2 g(t)e o dt f(tH(e- oe -o dt ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C 9/48 1 d Heaviside ¼ê H(t) A:§E÷v Dirichlet ^¼ ê f(t)H(t) = ( 0 , t < 0, f(y), t > 0. (6.2-1) 2 ^ê¼ê e −σt (σ > 0) t → ∞ ¯P~A:§E ÷výéÈ^¼ê g(t) = f(t)H(t)e −σt , (−∞ < t < ∞). (6.2-2) e −σt ¡ÂñÏf©éu¢S¯K§ σ v §y þ¡E¼ê g(t) ´ýéÈ©l é\ó¼ê g(t) ?1 Fourier C© G(ω) = 1 2π Z ∞ −∞ g(t)e −iωtdt = 1 2π Z ∞ −∞ f(t)H(t)e −σt e −iωtdt
862. LAPLACE变换 1048圆 f(t)e (0+io) dt p=0+io,f(p)=2rG(0) 则 f(p) f(t) dt. (6.2-3) 这就是函数f(t)的 Laplace变换,右边的积分称为 Laplace积分,em 称为 Laplace变换的核 定义:设函数f(t)是定义在(0,∞)上的实(复)函数,如果积分 f(tep di P=0+i0 0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C 10/48 = 1 2π Z ∞ 0 f(t)e −(σ+iω)tdt. - p = σ + iω, ¯f(p) = 2πG(ω), K ¯f(p) = Z ∞ 0 f(t)e −ptdt. (6.2-3) ùÒ´¼ê f(t) Laplace C§m>È©¡ Laplace È©§e −pt ¡ Laplace CØ© ~ ½. Â. µ¼ê f(t) ´½Â3 (0, ∞) þ¢£E¤¼ê§XJÈ© Z ∞ 0 f(t)e −ptdt, p = σ + iω