第三节反函数的导数 复合函数的求导法则 反函数的导数 巴二、复合函数的求导法则 巴三、小结思考题
一、反函数的导数 定理如果函数x=q(y)在某区间内单调、可导 且q'(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 内也可导,且有 f∫(x)= cp(x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 上页
一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) x f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且 有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
证任取x∈,给x以增量△x(△x≠0,x+△x∈Ix) 由y=f(x)单调性可知y≠0, Δy1 于是有 △x△x’∵∫(x)连续, →>0(△x→0),又知p'(y)≠0 f(x)=Ain△=im △x→0△x4y→0△x p(y) 即f(x)=1 △ cp(y) 上页
证 , x 任取x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = ( 0, ) x x x + x I
士 例1求函数y= arcsin的导数 解 ∵x=sinh∈(兀π 内单调、可导, 22 且( sin y)=cosy>0,∴在Ix∈(-1,)有 (arcsine) = (sin y cosy 1-sin'y 同理可得 (arccos x)==I (arctan x) 1t-r2;(arccot x)=L 1+x 2 上页
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y= log x的导数 中解x=n在,∈(+内单调、可导 且(a”)=alma≠0,∴在x∈(0,+0)内有, (oga x= a'InaxIn a 特别地(nx)= 上页
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =