第九节函数的连续性与间断点 巴一、函数的连续性 四二、函数的间断点 巴三、小结思考题
王-、函数的连续性 1函数的增量 设函数f(x)在U(x内有定义Vx∈U(x △=x-x0,称为自变量在点x的增量 午4=f(x)-f(x称为函数f(x相应于A的增量 J 工工工 y=f(x) y=f(r) △ △ △x : Ax 00+△rx 0 x0+△xx 上页
一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
王2,连续的定义 王定义1设函数(x)在O(x)内有定义如 果当自变量的增量Ax趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即lm△y=0或 △r→>0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→>0 工工工 f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=f(x)-f(x), △x→>0就是x→x,Ay→0就是f(x)→f(x
2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为f (x) 的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
庄定义2设函数f()在U(x)内有定义如果 函数f(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 王点x处的函数值(x),即lmfx)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "E-8"定义: VE>0,3δ>0,使当x-x<δ时, 生恒有/()-f(x)a 上页
定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) U x0 内有定义,如 果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
A例1试证函数f(x) rsIn xx≠0在x=0 0 =0 处连续 中证∵ lim x sin-=0, x→0 又∫()=0,imf(x)=f(0) 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续 上页
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →