第五节高阶导数 高阶导数的定义 巴二、高阶导数求法举例 小结思考题
生一、高阶导数的定义 问题变速直线运动的加速度 设s=f(),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间变化率 a(t)=y(t)=[f(). 王定义如果函数(x的导数/x在点处可导即 ('())=lim f'(x+4x)-f'(r) △x→>0 △ 存在则称(f(x)为函数f(x)在点处的二阶导数
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
记作f"(x),y d'y-r d' f(r) dx dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x), dy dx 三阶导数的导数称为四阶导数,"pa 王一般地函数/(x)的n-1阶导数的导数称为 上函数/(x)的m阶导数记作 f"(x),y,“或4/f(x) 工工 dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;f'(x)称为一阶导数 上页 圆
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
生三、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f"(0),fm(0) 解y y”=(.1 )-2x 1+y 1+x 2x y"=( 2(3x2-1) 2 (1+x)(1 )3 f"(0)=—-2x 22x=0=0;f"(0) 2(3x2-1) 2. (1+x2) (1+x 2、3|x=0 上页
二、 高阶导数求法举例 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2设y=x°(a∈R),求y) 解 a-1 y =or y=(0x)=a(0-1)x 2 y"=(a(-1)x72)=a(a-1)(a-2)x y(n)=a(-1)…(o-n+1)xn(n≥1) 若a为自然数,则 y=(x")=m, (n+1) =(m:)=0 上页
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0