《高等数学》课程教学资源：第四节 函数的极限

第四节函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 巴三、函数极限的性质 四、小结思考题

自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数nx当x→∞0时的变化趋势 075 上页

. sin 观察函数 当 x →  时的变化趋势 x x 播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限

问题:函数y=f(x)在x→∞的过程中,对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面演示实验的观察: 王当x无限增大时,/(=x无限接近于0 工工工 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 f(x)-4<E表示f(x)-4任意小 x>X表示x→>∞的过程 上页

问题:函数 y = f ( x)在x →  的过程中, 对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x  X 表示x → 的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近

1.定义: 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小 总存在着正数X,使得对于适合不等式x>X的一切 x所对应的函数值(x)都满足不等式/(x)-A4<B, 牛那末常数4就叫函数f(x)当x→∞时的极限记作 im∫(x)=A或f(x)→4(当x→>∞) x→0 王”-X"定义imf(x)=A分 王v>0x0,使当x>时恒有(4<a 圆[t 上页

定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x  X 的一切 x,所对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) − A   , 那末常数A就叫函数 f (x)当x →  时的极限,记作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 1. 定义 : " − X"定义   0,X  0,使当x  X时,恒有 f (x) − A  . =  → f x A x lim ( )

2.另两种情形: 1°.x→>+0情形:limf(x)=A x→+0 E>0,丑X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A<E. 2°.x→-∞情形:lim∫(x)=A x→-0 工工工 vE>0,X>0,使当x<-X时,恒有f(x)-A<E 牛定理:lmf(x)=Almf(x)=A且Imf(x)=A 上页

1 . : 0 x → + 情形   0, X  0, 使当x  X时, 恒有 f (x) − A   . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( )   0,X  0,使当x  −X时,恒有 f (x) − A   . f x A x = →+ lim ( ) 2.另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A  lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+  且 →− 