第七节曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 巴四、小结思考题
曲线凹凸的定义 C B 问题:如何研究曲线的弯曲方向 y=f(r) y=f(r) 0 x 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上页
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(a,b内连续如果对(a,b内任意 两点x1,x2,恒有f( x+x2f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凹的 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 fo x1+x2、f(x1)+f(x2) 2 2 牛那末称(x)在(a内的图形是凸的 如果f(x)在a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
二、曲线凹凸的判定 y y=f(x)B B :::::: b b r f(x)递增y”>0 f(x)递减y"<0 定理1如果∫(x)在[a,b上连续在(a,b)内具有 阶导数,若在(a,b)内 (1)f"(x)>0,则f(x)在{,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在{a,b上的图形是凸的 上页
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
c例1判断曲线y=x3的凹凸性 0.2 1 1 0.1 0.2 0.3 上页
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性