第七节极限存在准则 两个重要极限 极限存在准则 两个重要极限 三、小结思考题
、极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列xn,yn及zn满足下列条件 (1) Usx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y =a, lim zn=a, n→ n→0 那末数列x的极限存在,且imxn=a 中证∵yn→a,zn→a VE>0,N1>0,N2>0,使得 上页
一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-a<e, 当n>N时恒有zn-a<B, 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, 即a-8< <a+8,-8<Zn<l+8, 当n>N时,恒有a-E<yn≤x,≤zn<a+E, 即xn-a<成立,:mxn=a 王上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 王页下
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则′如果当x∈U(xn)(或x>M)时有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→x0 (x→>∞) x→∞0) 那末lm∫(x)存在,且等于A (x→>0) 准则和准则称为夹逼准则 午注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出y与, 并且yn与zn的极限是容易求的 上页
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 和准则 '称为夹逼准则
1 中例1求im( ∴十 n→0 +1√n2+2 2 √n+n n2+nn2+1×1 n 解 < < n2+n√n2+1 1 又lm n→oyn2+n =lm;=1, n→0 2,=m1々 n→0 n2+1 1k=1,由夹逼定理得 n m 十 ∴ n→0 √n2+1n2+2 nt n 王页下
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n