第四节函数单调性的判定法 一、单调性的判别法 巴二、单调区间求法 小结思考题
、单调性的判别法 y=f(r) y=f(r) B 0 a bx 0a bx f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可 导.(1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在|上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0, 那末函数y=f(x)在[a,b上单调减少 上页
一、单调性的判别法 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A
证x1,x2∈(a,b,且x<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-∫(x)=f(2(x2-x1)(x1<5<x2) ∵∴x,-x,>0 若在(a,b内,f(x)>0,则f(4)>0 f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则f(5)<0 牛:f(x)<r(x):y=)ab上单调减少 王页下
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1讨论函数y=e2-x-1的单调性 解∵y=e-1又∵D:(- o+0 2.5 在(-∞,0)内,y3<0, 0.5 函数单调减少; 1 2 在(0,+0内,y3>0,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 王页下
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)
二、 、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 :若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 工工工 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点. A方法:用方程∫(x)=0的根及(x)不存在的点 来划分函数∫(x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号. 上页
二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x