第十一节闭区间上连续 函数的性质 最大值和最小值定理 巴二、介值定理 小结思考题
生-、最大值和最小值定理 定义:对于在区间上有定义的函数f(x), 如果有xo∈1,使得对于任—x∈/都有 f∫(x)≤∫(x)(f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数∫(x)在区间上的最大(小)值 例如,y=1+sinx,在0,2止上,ym=2,Jm=0; y=sgnx,在(-∞,+∞)上,ym=1,ym=-1; 在(0,+∞)上,Jm=ym= 上页
一、最大值和最小值定理 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 若f(x)∈CIa,b, 则丑51,E2∈a,b, y=f(x) 王便得W 有∫(1)≥f(x) 王f()≤f(x) 5251bx 上注意1若区间是开区间,定理不一定成立; 2若区间内有间断点,定理不一定成立. 王页下
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
y=f(r) y=f(x ● 12 2 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 压证设函数(9连续外 有m≤f(x)≤M,取K=max{m,M}, 则有f(x)≤K.:函数f(x)在a,b上有界 圆[t 上页
x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f (x)在[a,b]上连续, x [a,b], 有 m f (x) M, 取 K = max{m, M }, 则有 f (x) K. 函数f (x)在[a,b]上有界
王三、介值定理 定义:如果x使f(x)=0,则x称为函数 庄f(x零点 王定理3(零点定理)设函数(x)在闭区间 上连续,且()与()异号即r(o,(b)<0, 那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零 点即至少有一点(a<E<b,使/(=0 牛即方程∫(x)=0在(a,b内至少存在一个实根 上页
二、介值定理 定理 3(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零 点,即至少有一点 (a b)，使 f () = 0. 定义: ( ) . ( ) 0, 0 0 0 的零点 如 果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根