第八节无穷小的比较 无穷小的比较 巴二、等价无穷小替换 小结思考题
、无穷小的比较 例如,当x→0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 lim -=0 x2比3x要快得多 x→0 sX 观察各极限一 lim sinr =1 sinx与x大致相同; x→0x x2∴=imn不存在不可比 →0x 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 上页 圆
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限
定义:设aB是同一过程中的两个无穷小,且α≠0 c(1)如果lm2=0就说β是比a高阶的无穷小 记作β=0(a) (2)如果im=C(≠0),就说B与α是同阶的无穷小; c 特殊地如果limp=1,则称B与α是等价的无穷小 c 记作α~β; (3)如果im=C(C≠0,k>0),就说是a的M阶的 a 无穷小 上页
( ); (1) lim 0, , = = 记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (2) 如果lim = ( 0),就说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 =
例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4x tanx 解im" =4li tan x = →0 故当x→>0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tanx- sin x 工工 解∵imn tanx1-cosx、1 x→)0 3 lim( x→0X 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小 上页
例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 4 3 0 4 tan lim x x x x→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小
平常用等价无穷小:当x→Q时, sinr, arcsinx tanxi, arctan - x, ln(1+x)~x,e^-1~x,1-c0sx~x2. 2 午用等价无穷小可给出函数的近似表达式 工工工 lim=1,∴lim 0-β c a=0,即a-β=0(a), A于是有a=β+0(a 例如,sinx=x+0(x),cosx=1-x2+0(x2) 2 上页
常用等价无穷小: 当x → 0时, 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1, lim = 0, − 即 − = o(), 于是有 = + o(). 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − −