《高等数学》课程教学资源：第八节 微分在近似计算中的应用

第八节微分在近似计算中的应用 巴一、计算函数增量的近似值 巴二、计算函数的近似值 巴三、误差估计 四四、小结思考题

-计算函数增量的近似值 若y=f(x)在点x处的导数f(x0)≠0,且 △x很小时, △ =x≈ x=xo f(x0)·△x 庄例1半径1厘米的金属圆片加热后半径伸长了 005厘米,问面积增大了多少 解设A=r2,r=10厘米,△r=0.05厘米 牛:△A≈d=2m,=2x×0×05=m(厘米3) 上页

一、计算函数增量的近似值 , ( ) ( ) 0, 0 0 很小时 若 在点 处的导数 且 x y f x x f x  =   例1 0.05 , ? 10 , 厘米 问面积增大了多少 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 解 , 2 设A = r r = 10厘米, r = 0.05厘米.  A  d = 2r  r = 2 100.05 ( ). 厘米2 =  ( ) . = f  x0  x 0 0 x x dy x x y  =  =

二、计算函数的近似值 1求f(x)在点x=x附近的近似值 y=f(x0+△x)-f(x)≈f(x)△x 王f(x+△x)/xn)+f(x)△,△x很小时 王例1计算600的近似值 牛解设(x)=cosx,:f(x)=-six(x为弧度) x0= △y= 3 360 上页

二、计算函数的近似值 1. ( ) ; 求f x 在点x = x0附近的近似值 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f ( ) .  f  x0  x ( ) ( ) ( ) . f x0 + x  f x0 + f  x0  x (x很小时) 例1 cos 60 30 . 计算 o 的近似值 解 设f (x) = cos x,  f (x) = −sin x, (x为弧度) , 360 , 3 0   =   x = x

∫() 32 ( 2 ∴c0s60°30=c0s(。+ 7 7C )≈cos"-sin 3360 3 3360 √3兀 0.4924. 22360 工工工 2求f(x)在点x=0附近的近似值 令x0=0,△x=x ∵∫(x0+Ax)≈f(x0)+f(x0)△x, f(x)≈f(0)+f(0)x 上页

. 2 3 ) 3 , ( 2 1 ) 3 ( = −  =    f f ) 3 360 cos60 30 cos( o  +    = 3 360 sin 3 cos    −   2 360 3 2 1  = −   0.4924. 2.求f (x)在点x = 0附近的近似值;  f (x)  f (0) + f (0) x. ( ) ( ) ( ) ,  f x0 + x  f x0 + f  x0  x 0, . 令 x0 = x = x

常用近似公式(x很小时) (1)1+x≈1+x;(2)sinx≈x(x为弧度) n (3)tanx≈x(x为弧度:(4)e≈1+x (5)ln(1+x)≈x 证明(1)设∫(x)=1+x,∫(x)=(1+x) n f(0)=1,f(0) 工工 n ∫(x)≈∫(0)+f(0)x=1+x n 上页

常用近似公式 ( x很小时) (5) ln(1 ) . (3) tan ( );(4) 1 ; ; (2)sin ( ); 1 (1) 1 1 x x x x x e x x x x x n x x n +    + +  +  为弧度 为弧度 证明 (1) ( ) 1 , n 设 f x = + x (1 ) , 1 ( ) 1 1 −  = + n x n f x . 1 (0) 1, (0) n f = f  =  f (x)  f (0) + f (0)x 1 . n x = +