第五节无穷小与无穷大 巴一、无穷小 巴二、无穷大 巴三、无穷小与无穷大的关系 四四、小结思考题
无穷小 平1定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 生总存在正数8(或正数X),使得对于适合不等式 0<x-x0<8(或x>X)的一切x,对应的函数值 ∫(x)都满足不等式f(x)<E, 那末称函数f(x)当x→x(或x→)时为无穷小 记作Iimf(x)=0(或limf(x)=0 x→x 0 x→ 上页
一、无穷小 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那末 称函数 f ( x)当x → x0 (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小
例如, 王 lm sinx=0,∴函数业mx是当x→时的无穷小 i1=0,∴函数是当x→∞时的无穷小 n lim =0:数列(是当n→时的无穷小 n→00 n n 王注意1无穷小是变量不能与很小的数混淆 2零是可以作为无穷小的唯一的数 上页
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数
2无穷小与函数极限的关系 定理1limf(x)=Af(x)=A+a(x) x→>x0 王其中(x)是当x→x时的无穷小 证必要性设limf(x)=A,令a(x)=∫(x)-A, x→x0 则有ima(x)=0,∴∫(x)=A+a(x) x→x0 充分性设∫(x)=A+a(x) 其中a(x)是当x→x时的无穷小, 则im∫(x)=lim(A+a(x)=A+lima(x)=A x→>x0 x→ x→>xo 上页
2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小
意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 ∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 证设a及β是当x→o时的两个无穷小, Ve>0,3N1>0,N2>0,使得 上页
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x 误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,N1 0, N2 0,使得