第六节极限运算法则 嘠一、极限运算法则 二、求极限方法举例 四三、小结思考题
、极限运算法则 上定理设imf(x)=A,img(x)=B,则 (1)imlf(x)±g(x)=A±B (2)Iim[f(x)·g(x)=A·.B; (3) lim f(r)A 其中B≠0 g(x) B 证∵lim∫(x)=A,limg(x)=B. f(x)=A+α,g(x)=B+β.其中α→>0,β→0 由无穷小运算法则得 上页
一、极限运算法则 定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
If(x)±g(x)1-(±B)=a±β→>0.∴(1)成立 cf(x),g(x)-(4,B)=(4+a)(B+B)-AB 4s(4B+Ba)+aB→0. (2)成立 (s)42A+a-4=B04BB-/→ g(x)BB+βBB(B+β) 工工 又:B→0,B≠0,38>0,当0<x-x0<86时, B β <,∴B+ 2 β≥B-B>B B B 2 2 上页
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
B(B+B>B2,故 3 B(B+B)B2 有界, .(3)成立 庄推论1如果Im∫(x)存在而为常数则 limcf()=clim f(x) 常数因子可以提到极限记号外面. 王推论2如果mf(x)在,而n是正整数则 limf(xl=lim f()l 上页
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
生三、求极限方法举例 例1求lim x3-1 x→2x2-3x+5 F lim(x2-3x+5)=lim -lim 3x+ lim5 2 x→ x→ (limx)2-3limx+lim5 x→2 x→2 x→>2 =22-3·2+5=3≠0 x3-1 mx3-lim1 2 x→2 23-1 ∴lim x→2x2-3x+5lim(x2-3x+5)33 x→2 上页
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =