自动空制原理课件
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※7.3 相平面法相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分为一阶或二阶的情况
※7．3 相平面法 相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先 提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。 相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系 统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹 的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部 分为一阶或二阶的情况。 2
7.3.1相平面法的基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述d-xdxdx dxl f(x,)=0a,(x,ao(x,xdi2dtdtdtdx令x=xj，, dx/dt=x2=X2业dx2 - f(xj,x2)f(xj,x2)dtdxiX2以x,为自变量，以x,为因变量的一阶微分方程。二阶系统常微分方程方程的解既可用x与的关系来表示，也可用x,与x,的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则x,(t)代表质点的位置，x,(t)代表质点的速度。3
7.3.1 相平面法的基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述： 令x = x1， dx/dt = x2 以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系 统常微分方程方程的解既可用x与t的关系来表示，也可 用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动 方程，则x1 (t)代表质点的位置，x2 (t)代表质点的速度。 3
x用x,、x,描述二阶系统常微(x,xo)分方程方程的解，也就是用质t点的状态来表示该质点的运动。3X0在物理学中，状态又称为相t2把由x,一x,所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一0个状态则对应于相平面上的一ti个点。专当变化时，系统状态在相t3t4平面上移动的轨迹称为相轨迹
用 x 1 、 x 2描述二阶系统常微 分方程方程的解，也就是用质 点的状态来表示该质点的运动。 在物理学中，状态又称为 相 。 把由 x 1 —x 2所组成的平面 坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一 个点。 当 t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹 。 x x 0 t 1 t2 t3 t4 x 0t t 1 t2 t4 t3 (x, x 0 ) 4
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法7.3.2相平面图的绘制绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法，1. 解析法解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。另一种方法是先求出x和对的函数关系，然后消去t，从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。 7.3.2 相平面图的绘制 而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。 5