定义1设非空DCR",映射f:DHR称为定义在D上点集的n元函数，记作z= f(xi,x2,,xn) 或 z= f(P),Pe D点集D称为函数的定义域;数集（z[z=f(P),PED称为函数的值域。特别地，当 n =2 时，有二元函数t=f(x,y), (x,y)eDcR当n=3时，有三元函数z= f(x,y,z), (x,y,z)e DcR3
定义1 设非空 点集 点集 D 称为函数的定义域 ;数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义在D 上 的 n 元函数 ,记作
（三）二元函数的几何意义(a,y,2)/(r.yED,e=f(,y))称为二元函数2=f(1,y)的图形.一般来说，，它通常是一张曲面，这就是二元函数的几何意义2=3)
（三） 二元函数的几何意义 称 为二 元函 数 的图 形.一 般来 说，它通 常是一 张曲 面，这就是二元函数的几何意义
二、二元函数的极限定义2设函数z=f（x,y)在点P（xo,yo）的某一邻域内有定义（点P。可以除外），如果当点P(x，y)无限地接近于点P.(xo，yo）时，对应的函数值z趋近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f (x,J) 当(x,y)→(xo,) 时的极限，记为lim f(x,y) = A,(x,y-→xo,yo)或f(x,y) →A,(x, y) →(xo,yo)
二、二元函数的极限 则称 A 为函数 z = f (x , y) 当 时的极 限， (x, y)→(x0 , y0 ) 设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，如果当 点 P(x , y)无限地接近于点 P0(x0 , y0)时， 0 0 ( , , ) , , x y x y lim f x y A → 记为 ( )= 或 定义2 对应 的函数值z 趋近于一个确定的常数A， 0 0 f(x,y) A,( ) ( ) → → x, , y x y
例考察函数xy￥029x'+yg(x, y) =x-19当(x,)→(0,0)时的极限解当（x,）沿轴趋向于原点，即当=0而x→0时,有limg(x, y) = lim g(x,0) = lim 0 = 0 ,x-0x-→0x-0y=0
+ + = , 0 , ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y g x y 例 0 , 0 2 2 x + y = 当( , ) ( 0 , 0) x y → 时的极限 0 , 0 时 即当 而 → = x 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点， y lim ( , ) lim ( ,0) lim0 0 , 0 0 0 0 = = = → → = → x x y x g x y g x 有 解 考察函数
而当点(αx,)沿轴趋向于原点，即x=0,而→0时，有lim g(x, y) = lim g(0, y) = lim 0 = 0 .x=0J-0y-→0y-0但是，当点（x，y）沿着直线y=kx（k±0）趋向于点(0,0)时，即当y=kx，而x→0时,kx?klim g(x,y)= lim g(x, x)= lim x + kx?1+kx-0Xy=kx-→0k故极限的值也不同，随着k的取值不同1+klim g(x,J) 不存在。x→0y-0
但是，当点( x , y )沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点 (0, 0) 时， , 1 lim ( , ) lim ( , ) lim 2 2 2 2 2 0 0 0 0 k k x k x kx g x y g x kx x x y k x x + = + = = → → = → → 即当 y = k x ， 而 x → 0时, lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 . 0 0 0 0 = = = → → → = y y y x g x y g y 而当点 (x, y) 沿 y 轴趋向于原点， 有 lim ( , ) . 0 0 不存在 故极限 g x y y x → → , 1 2 的值也不同 k k + 随着 k 的取值不同， 即 x = 0 ,而 y →0 时