模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口 增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果 基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 (即3.06×109)，人口增长率约为2%，人口 数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961 的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一 致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年 增加一倍，两者也几乎相同
模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口 增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果 基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口 数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961 的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一 致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年 增加一倍，两者也几乎相同
模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， 而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的 肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。 Malthus:模型实际上只有在群体总数不太大时才 合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由 于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原 因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长 率不可能始终保持常数，它应当与 人口数量有关
模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×10 14个， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， 而到2670年，人口达36×10 15个，只好一个人站在另一人的 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才 合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由 于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原 因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长 率不可能始终保持常数，它应当与 人口数量有关
指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数（逐渐下降）
指数增长模型的应用及局限性 • 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：=W 从而有：d dt =r(N)N 为了得出一个有实际意义 的模型，我们不妨采用一 下工程师原则。工程师们 r()是未知函数， 在建立实际问题的数学模 但根据实际背景， 型时，总是采用尽可能简 它无法用拟合方法 单的方法。 来求 (W)最简单的形式是常数，此 时得到的就是马尔萨斯模型。 对马尔萨斯模型的最简单的改 进就是引进一次项（竞争项）
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： ( ) dN r N N dt （*） r(N)是未知函数， 但根据实际背景， 它无法用拟合方法 来求 。 为了得出一个有实际意义 的模型，我们不妨采用一 下工程师原则。工程师们 在建立实际问题的数学模 型时，总是采用尽可能简 单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此 时得到的就是马尔萨斯模型。 对马尔萨斯模型的最简单的改 进就是引进一次项（竞争项）
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：=) 从而有：d =r(N)N (*) dt 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项)，令(N)=rN 此时得到微分方程： dN SaN)N或=r0 -)N (**) dt (*)被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数 学生物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的，因为 当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争 项。 (*)可改写成： d N=k(K-N)N (***)
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： ( ) dN r N N dt （*） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程： ( ) dN r aN N dt (1 ) dN N r N dt K 或 （**） （**）可改写成： ( ) dN k K N N dt （***） （**）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数 学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为 当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争 项