在|δ,+∞)上一致收敛(其中δ>0,但在(0,+∞)内 不一致收敛 证作变量代换=x,得 to sin xy +oo sinu -du (5) Ax 其中A>0由于「dn收敛,故对任给的正数 E,总存在某一实数M,当A>M时就有 +oo sinu du<8 u 前页)后页)返回
前页 后页 返回 在 [ , ) ( 0), + 上一致收敛 其中 但在 (0, ) + 内 不一致收敛. 证 作变量代换 u xy = , 得 sin sin d d , (5) A Ax xy u y u y u + + = A 0, 0 sin d u u u + 其中 由于 收敛, 故对任给的正数 , 总存在某一实数M , 当 A M 时就有 sin d . A u u u +
取A6>M,则当A>时,对x≥δ>0,由(5)式 too sin xy dy <8, 所以(4)在x≥δ>0上一致收敛 现证明(4)在(,+∞)内不一致收敛,由一致收敛定 义的注2,只要证明:存在某一正数6,使得对任何 实数M(>c),总相应地存在某个A>M及某个 x∈(0,+∞),使得 前页)后页)返回
前页 后页 返回 , M A M A 取 则当 时, 对 x 0 , 由 (5) 式 sin d , A xy y y + 所以(4)在 x 0 上一致收敛. 现证明(4) 在 (0, ) + 内不一致收敛. 由一致收敛定 义的注2, 只要证明: 存在某一正数 0 , 使得对任何 x + (0, ) , 使得 实数 M c ( ) , 总相应地存在某个 A M 及某个
f(x,y)dy|≥6 e +oo sinu 由于非正常积分 d收敛(在本节例6中我们 儿 将求出这个积分的值,故对En>0与M>0,总 彐x>0,使得 to sinu too sinu L du< eo Mx JO L 前页)后页)返回
前页 后页 返回 由于非正常积分 0 sin d u u u + 收敛 (在本节例6 中我们 将求出这个积分的值), 故对 0 0 0, 与 M 总 x 0, 使得 0 0 sin sin d d , Mx u u u u u u + + − 即 0 ( , )d . A f x y y +
+oo snu +oo sinu +oo sinu u-60 du< du+ Mx u JO 0 现人N,由(不等式6的左端就有 2·0u too sindy +oo sinu - du 28 Mx u 0 0 所以(4)在(0,+∞)内不一致收敛 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 收敛之间的联系有下述定理 定理198含参量反常积分(1)在J上一致收敛的充要 前页)后页)返回
前页 后页 返回 现令 0 0 1 sin d , 2 u u u + = 由(5)及不等式(6)的左端就有 0 0 0 sin sin d d 2 . M Mx xy u y u y u + + = − = 所以(4)在 (0, ) + 内不一致收敛. 收敛之间的联系有下述定理. 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 定理19.8 含参量反常积分(1)在 J 上一致收敛的充要 + + + − + 0 0 0 0 sin sin sin d d d . (6) Mx u u u u u u u u u
条件是:对任一趋于+的递增数列{4n}(其中A1 c),函数项级数 ∑∫"∫(x,y)y=∑n(x) H=1 n: 在厂上一致收敛,其中,(x)=』"f(x,y 证必要性由(1)在J上一致收敛,故∨E>0,M>C, 使得当A>A>M时,对一切x∈J,总有 f(x, y)dy<8 8) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 + 1 { } ( 条件是: 对任一趋于 的递增数列 A A n 其中 = 1 1 1 ( , )d ( ) (7) n n A n A n n f x y y u x + = = = 证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c, 使得当 A A M 时， 对一切 x J , 总有 ( , )d . (8) A A f x y y c), 函数项级数 在 J 上一致收敛, 其中 1 ( ) ( , )d . n n A n A u x f x y y + =