又由An→>+0(mn→>∞),所以对正数M,存在正整数N, 只要当m>n>N时,就有An>An>M.由(8)对一切 x∈J,就有 un(x)+…+un(x) f(x, y)dy+ f(x, ydj f(x, y)dy<a 这就证明了级数()在J上一致收敛 充分性用反证法.假若(1)在J上不一致收敛,则 日60>0,对M>C,彐A">A>M和x∈J,使得 前页)后页)返回
前页 后页 返回 又由 ( ) , A n n → + → 所以对正数M, 存在正整数N, m n N . 只要当 时, 就有 A A M m n 由(8)对一切 x J , 就有 1 1 ( ) ( ) ( , )d ( , )d m n m n A A n m A A u x u x f x y y f x y y + + + + = + + 1 ( , )d . m n A A f x y y + = 这就证明了级数(7)在 J 上一致收敛. 充分性 用反证法. 假若(1)在 J 上不一致收敛, 则 0 0 , 对 M c, A A M x J 和 ， 使得
f(x,y)dy≥6n 现取M1=max{1,c,则存在A2>A1>M1及x1(a,b, 使得 f(x1,y)dy|≥E 般地,取Mn=max{,41n1}(n≥2), 则有A2n>A2n1>Mn及xn∈J,使得 f(x,y)dy≥E A2n-l 前页)后页)返回
前页 后页 返回 0 ( , )d . A A f x y y M c A A M 1 2 1 1 = max{1 , }, 则存在 1 现取 及x a b [ , ], 使得 2 1 1 0 ( , )d . A A f x y y 一般地, 取 M n A n n n = max{ , } ( 2) , 2( 1) − 则有 2 2 1 , A A M x J n n n n − 及 使得 2 2 1 0 ( , )d . (9) n n A n A f x y y −
由上述所得到的数列{An}是递增数列,且 lim a= +∞现在考虑级数 ∑(x)=∑"f(x,y)d 由(9式知存在正数0,对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x0∈J,使得 A2 l21(x)="f(xnyy≥a 这与级数(7)在J上一致收敛的假设矛盾.故含参量 前页)后页)返回
前页 后页 返回 { } A n lim n n A → 由上述所得到的数列 是递增数列, 且 = + = = = 1 1 1 ( ) ( , )d . n n A n A n n u x f x y y 0 由(9)式知存在正数 , 对任何正整数N, 只要 n N , 就有某个 0 x J , 使得 + = 2 1 2 2 0 ( ) ( , )d . n n A n n n A u x f x y y 这与级数(7)在 J 上一致收敛的假设矛盾. 故含参量 + . 现在考虑级数