例1讨论含参量反常积分 +0 xedy,x∈(0,+∞) 的一致收敛性 解若x>0,令Ⅱ=x,则 e e“dn rA 于是 7/(4)=Sup e x∈[0,+∞) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 讨论含参量反常积分 0 e d , (0, ) xy x y x + − + 的一致收敛性. 解 若 x u xy = 0, , 令 则 e d e d e , xy u xA A xA x y u + + − − − = = 于是 [0, ) ( ) sup e d 1, xy A x A x y + − + = =
因此,含参量积分在(0,+∞)上非一致收敛 而对于任何正数,有 7(4)=sup儿l. xe dyl}=e1→0(A>+∞), x∈6,+∞) 因此,该含参量积分在[,+)上一致收敛 前页)后页)返回
前页 后页 返回 因此, 含参量积分在 (0, ) + 上非一致收敛. [ , ) ( ) sup e d e 0 ( ), xy A A x A x y A + − − + = = → → + 因此, 该含参量积分在 [ , ) + 上一致收敛. 而对于任何正数 , 有
二、含参量反常积分一致收敛性的判别 定理197(致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在[a,b上一致收敛的充要条件是:VE>0,丑N>C, 使得当A,A2>N时,对一切的x∈a,b,都有 A2 f(x, y)dy<8 证必要性 若I(x)=f(x,y)小在J上一致收敛,则 VE>0,3N>C,VA>N及x∈J,有 前页)后页)返回
前页 后页 返回 二．含参量反常积分一致收敛性的判别 定理19.7 (一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在 [ , ] a b 上一致收敛的充要条件是: 0, , N c 1 2 使得当 A A N , 时 x a b [ , ], , 对一切的 都有 2 1 ( , )d . (3) A A f x y y 证 必要性 ( ) ( , )d c I x f x y y + = 若 在 J 上一致收敛, 则 0, , , N c A N x J 及 有
f(x, y)dy-l(x) 2 因此,VA1,A2>N A A1 f(x, y)dx=l f(x, y)dx-f(x, y)dx <f(x, y)dx-I(x)+f(x, y)dx-I(x <-十 前页)后页)返回
前页 后页 返回 ( , )d ( ) , 2 A c f x y y I x − 因此, 1 2 A A N , , 2 1 2 1 ( , )d ( , )d ( , )d A A A A c c f x y x f x y x f x y x = − 1 1 ( , )d ( ) ( , )d ( ) A A c c − + − f x y x I x f x y x I x . 2 2 + =
充分性若∨E>0,N>c,MM=A,A2>N, A f(x, y)dy<8. 则令A1→)+∞,得f(x,y)dy|≤ 这就证明了(x)=f(x,y)小在J上一致收敛 例2证明含参量反常积分 too sin y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 2 1 ( , )d . A A f x y y 则令 2 , ( , )d . M A f x y y 得 + → + ( ) ( , )d c I x f x y y + = 这就证明了 在 J 上一致收敛. 例2 证明含参量反常积分 0 sin d (4) xy y y + 充分性 若 1 2 = 0, , , , N c M A A N