中国科学技术大学 2004一2005学年第一学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名 学号： (考期：2005年1月20日，闭卷，可用计算器) 一、甲、乙、丙三门火炮同时独立地向目标射击，其命中率分别为02,0.3和0.5。目 标被命中一发而被推毁的概率为0.2，被命中两发而被摧毁的概率为0.6，被命中三 发而被摧毁的概率0.9，试求： (1)三门火炮在一次射击中摧毁目标的概率： (2)在目标被摧毁的条件下，其只由甲火炮击中的概率。 二、设X与Y独立同分布，都服从参数为的指数分布，试求Z的分布密度，其中： (1)Z=min{X.Y) (2)Z=X+Y。 三、将一枚骰子独立地投掷n次，令X与Y分别表示其1点出现的次数和6点出现的 次数，并记Z=n-X。试求： (1)X与Y的协方差及相关系数： (2)X与Z的相关系数。 四、设样本X,Xn抽自总体X,总体的密度为： X-x0)=层e学，x之4：，其中0，R为未知参数，>0为已知数。 0 x< (1)求8，的矩估计a,和极大似然估计8： (2)百，和0：是否为0，的无偏估计？是加以证明，不是请加以修正为无偏估计量。 五、某校组织学生参加英文词汇训练，并在年初与年底（即训练前与训后）各举行一次 阅读考试，以考察训练的效果。现随机抽取10名同学，将其年初与年底的考试成 绩记录如下： 学生 12345678910 年初成绩64438472529377586991 年底成绩72508680509078577295 假定两次考分之差服从正态分布，试由此判断词汇训练是否有显著效果？（分别在 a=0.05与a=0.01的水平下检验) 六、为了研究色官是否与性别有关，随机抽取1000人进行调查，结果如下 男 女 和 正常 442 514 956
ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2004—2005 ᆜᒪㅢжᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2005 ᒤ 1 ᴸ 20 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃ⭢ǃ҉ǃщй䰘⚛⛞਼ᰦ⤜・ൠੁⴞḷሴࠫˈަભѝ⦷࡛࠶Ѫ 0.2ˈ0.3 ઼ 0.5DŽⴞ ḷ㻛ભѝаਁ㘼㻛᪗⇱Ⲵᾲ⦷Ѫ 0.2ˈ㻛ભѝєਁ㘼㻛᪗⇱Ⲵᾲ⦷Ѫ 0.6ˈ㻛ભѝй ਁ㘼㻛᪗⇱Ⲵᾲ⦷ 0.9ˈ䈅≲˖ ˄1˅й䰘⚛⛞൘а⅑ሴࠫѝ᪗⇱ⴞḷⲴᾲ⦷˗ ˄2˅൘ⴞḷ㻛᪗⇱ⲴᶑԦлˈަਚ⭡⭢⚛⛞ࠫѝⲴᾲ⦷DŽ Ҽǃ䇮 X о Y ⤜・਼࠶ᐳˈ䜭ᴽӾ৲ᮠѪߣⲴᤷᮠ࠶ᐳˈ䈅≲ Z Ⲵ࠶ᐳᇶᓖˈަѝ˖ ˄1˅Z=min{X,Y}˗ ˄2˅Z=X+YDŽ йǃሶа᷊僠ᆀ⤜・ൠᣅ᧧ n ⅑ˈԔ X о Y ࡛࠶㺘⽪ަ 1 ⛩ࠪ⧠Ⲵ⅑ᮠ઼ 6 ⛩ࠪ⧠Ⲵ ⅑ᮠˈᒦ䇠 Z=n-XDŽ䈅≲˖ ˄1˅X о Y Ⲵॿᯩᐞ৺ޣ㌫ᮠ˗ ˄2˅X о Z Ⲵޣ㌫ᮠDŽ ഋǃ䇮ṧᵜܺଵ, ڮܺ , ᣭ㠚ᙫփ XˈᙫփⲴᇶᓖѪ˖ X~f(ݔ ;ߠଵ) = ൝ ଵ ఏమ ݁ ିೣషഇభ ଵߠ ݔ , ഇమ ଵߠ > ݔ ,0 ˈަѝߠଵ אܴ Ѫᵚ⸕৲ᮠˈߠଶ > 0Ѫᐢ⸕ᮠDŽ ˄1˅ ≲ߠଵⲴ⸙ՠ䇑ߠ ଵ઼ᶱབྷլ❦ՠ䇑ߠଵ ˗כ ߠ ˅2˄ ଵ઼ߠଵ כ ᱟѪߠଵⲴᰐٿՠ䇑˛ᱟ࣐ԕ䇱᰾ˈнᱟ䈧࣐ԕ؞↓Ѫᰐٿՠ䇑䟿DŽ ӄǃḀṑ㓴㓷ᆖ⭏৲࣐㤡᮷䇽≷䇝㓳ˈᒦ൘ᒤࡍоᒤᓅ˄ণ䇝㓳ࡽо䇝ਾ˅Ѯ㹼а⅑ 䰵䈫㘳䈅ˈԕ㘳ሏ䇝㓳Ⲵ᭸᷌DŽ⧠䲿ᵪᣭਆ 10 ਼ᆖˈሶަᒤࡍоᒤᓅⲴ㘳䈅ᡀ 㔙䇠ᖅྲл˖ ۇٴᇊє⅑㘳࠶ѻᐞᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳˈ䈅⭡↔ࡔᯝ䇽≷䇝㓳ᱟᴹᱮ㪇᭸᷌˛˄࡛࠶൘ ߙ = 0.05оߙ = 0.01Ⲵ≤ᒣлỰ傼˅ ޝǃѪҶ⹄ウ㢢ⴢᱟоᙗ࡛ᴹޣˈ䲿ᵪᣭਆ 1000 Ӫ䘋㹼䈳ḕˈ㔃᷌ྲл˖ ⭧ ྣ ઼ ↓ᑨ 442 514 956 ᆖ⭏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ᒤࡍᡀ㔙 64 43 84 72 52 93 77 58 69 91 ᒤᓅᡀ㔙 72 50 86 80 50 90 78 57 72 95
色盲 38 6 44 和 480 520 1000 (1)试据此判断，色盲是否与性别有关？(a=0.01) (2)你认为是男性还是女性更容易患色盲？请说明理由
㢢ⴢ 38 6 44 ઼ 480 520 1000 ˄1˅ 䈅ᦞ↔ࡔˈᯝ㢢ⴢᱟоᙗ࡛ᴹޣ)˛ߙ = 0.01) ˄2˅ 䇔Ѫᱟ⭧ᙗ䘈ᱟྣᙗᴤᇩ᱃ᛓ㢢ⴢ˛䈧䈤᰾⨶⭡DŽ
中国科学技术大学 2005一2006学年第一学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名 学号： (考期：2006年1月22日，闭卷，可用计算器) 一、设昆虫产卵个数服从参数为入的Ps1on分布，而每个卵孵化成幼虫的概率为P,且 各卵是否成虫彼此之间没有关系。试求： (1)一个昆虫产生k个后代的概率： (2)若某个昆虫产生k个后代，求它产生m个卵的概率 二、设二维随机变量(X,Y)的联合密度为： fx,)=0.251+xylx<1,b1<1 0,others (1)求给定X=12时Y的条件概率密度： (2) 求Cov(X,Y)和Var(YJX=12): (3) 证明x2与Y2独立 三、设某学校有5000名学生，在某一时间区间内每个学生去某个阅览室的概率为0.05， 且设每个学生是否去该阅览室是相互独立的。试问该阅览室至少需要设多少座位才 能以95%的概率保证每个到该阅览室来的同学均有座位？ 四、设从总体 X012 3 P82838/21-30 抽取的一个简单随机样本X1.,X1o的观测值为0,3,1,1,0,2,0.0,3,0) ()求9的矩估计量，和极大似然估计量商： (2)证明上述估计量都是无偏估计量 (3)比较这两个估计量，指出哪个更有效 五、假设某台精盐包装机生产的袋装盐的净重服从正态分布，按照要求每袋盐的标准重 量为500g,标准差不得超过10g。某天开工后，从装好的盐中随机抽取10袋，测得 其净重（单位：g)为：510,495,478,487,501,493,528,504,503,504。 试据此判断这时机器的工作是否正常。(a=0.05) 六、在著名的豌豆实验中，孟德尔(1822-1884)同时考虑豌豆的颜色和形状，共有四 种组合：（黄、圆），（黄、皱），（绿、圆），（绿、皱）。按孟德尔的理论，这四类应 该有9：3：3：1的比例。在一次实验中，发现这四类的观察数分别为315,101， 108和32试据此制断孟德尔的理论品否正确？（三005）
ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2005—2006 ᆜᒪㅢжᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2006 ᒤ 1 ᴸ 22 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃ䇮ᰶ㲛ӗথњᮠᴽӾ৲ᮠѪɉⲴ Possion ࠶ᐳˈ㘼⇿њথᆥॆᡀᒬ㲛Ⲵᾲ⦷Ѫ pˈф থᱟᡀ㲛ᖬ↔ѻ䰤⋑ᴹޣ㌫DŽ䈅≲˖ ˄1˅ањᰶ㲛ӗ⭏ k њਾԓⲴᾲ⦷˗ ˄2˅㤕Ḁњᰶ㲛ӗ⭏ k њਾԓˈ≲ᆳӗ⭏ m њথⲴᾲ⦷DŽ Ҽǃ䇮Ҽ㔤䲿ᵪਈ䟿(X,Y)Ⲵ㚄ਸᇶᓖѪ˖ ൜ = (ݕ ,ݔ)f 0.25(1 + ݕݔ|,(ݔ > |1, |ݕ > |1 ݏݎ݄݁ݐ , 0 ˄1˅ ≲㔉ᇊ X=1/2 ᰦ Y ⲴᶑԦᾲ⦷ᇶᓖ˗ ˄2˅ ≲ Cov(X,Y)઼ Var(Y|X=1/2)˗ ˄3˅ 䇱᰾ܺଶоܻଶ⤜・DŽ йǃ䇮Ḁᆖṑᴹ 5000 ᆖ⭏ˈ൘Ḁаᰦ䰤४䰤⇿њᆖ⭏৫Ḁњ䰵㿸ᇔⲴᾲ⦷Ѫ 0.05ˈ ф䇮⇿њᆖ⭏ᱟ৫䈕䰵㿸ᇔᱟӂ⤜・ⲴDŽ䈅䰞䈕䰵㿸ᇔ㠣ቁ䴰㾱䇮ཊቁᓗս 㜭ԕ 95%Ⲵᾲ⦷؍䇱⇿њࡠ䈕䰵㿸ᇔᶕⲴ਼ᆖ൷ᴹᓗս˛ ഋǃ䇮Ӿᙫփ X 0 1 2 3 P Ʌ/2 Ʌ 3Ʌ/2 1-3Ʌ ᣭਆⲴањㆰঅ䲿ᵪṧᵜܺଵ, ڮܺ , ଵⲴ㿲⍻٬Ѫ(0,3,1,1,0,2,0,0,3,0)DŽ ˄1˅≲ ɅⲴ⸙ՠ䇑䟿ߠ ெ઼ᶱབྷլ❦ՠ䇑䟿ߠ ˗ ˄2˅䇱᰾к䘠ՠ䇑䟿䜭ᱟᰐٿՠ䇑䟿˗ ˄3˅∄䖳䘉єњՠ䇑䟿ˈᤷࠪଚњᴤᴹ᭸DŽ ӄǃۇٴ䇮Ḁਠ㋮ⴀव㻵ᵪ⭏ӗⲴ㺻㻵ⴀⲴ߰䟽ᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳˈ᤹➗㾱≲⇿㺻ⴀⲴḷ߶䟽 䟿Ѫ 500gˈḷ߶ᐞнᗇ䎵䗷 10gDŽḀཙᔰᐕਾˈӾ㻵ྭⲴⴀѝ䲿ᵪᣭਆ 10 㺻ˈ⍻ᗇ ަ߰䟽˄অս˖g˅Ѫ˖510ˈ495ˈ478ˈ487ˈ501ˈ493ˈ528ˈ504ˈ503ˈ504DŽ 䈅ᦞ↔ࡔᯝ䘉ᰦᵪಘⲴᐕᱟ↓ᑨDŽ˄ߙ = 0.05˅ ޝǃ൘㪇Ⲵ䉼䉶ᇎ傼ѝˈᆏᗧቄ˄1822-1884˅਼ᰦ㘳㲁䉼䉶Ⲵ仌㢢઼ᖒ⣦ˈޡᴹഋ ⿽㓴ਸ˖˄哴ǃശ˅ˈ˄哴ǃⳡ˅ˈ˄㔯ǃശ˅ˈ˄㔯ǃⳡ˅DŽ᤹ᆏᗧቄⲴ⨶䇪ˈ䘉ഋ㊫ᓄ 䈕ᴹ 9˖3˖3˖1 Ⲵ∄ֻDŽ൘а⅑ᇎ傼ѝˈਁ⧠䘉ഋ㊫Ⲵ㿲ሏᮠ࡛࠶Ѫ 315ˈ101ˈ 108 ઼ 32.䈅ᦞ↔ࡔᯝᆏᗧቄⲴ⨶䇪ᱟ↓⺞˛˄ߙ = 0.05˅
中国科学技术大学 2005一2006学年第二学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名 学号： (考期：2006年7月3日，闭卷，可用计算器 一、在空战中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2：若乙机未被击落，就进行还 击，击落甲机的概率为0.3：若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为 04试求在这二回合中 (1)乙机被击落的概率是多少？ (2)若乙机被击落，则它在第一回合中被击落的概率是多少？ 二、设X~（o85)X2（085),且PxX2=0)=1。试求： (1)试求(X1,X2)的分布 (2)X1与X2是否独立？为什么？ (3)X1与X2是否不相关？为什么？ 三、设X与Y相互独立，都服从指数分布，参数分别为与≠,试求Z的概率密 度2()，其中：(1)Z=X+Y:(2)Z=X-Y. 四、设样本X,Xn抽自总体X,X服从（日，9+1）上的均匀分布： (1)试求8的矩估计©和极大似然估计8： (2)证明a1=又-与02=X)-均为0的无偏估计： (3)可1和82哪个更有效？ 五、设样本X1.,Xn抽自正态总体N(以，σ2)，问在下列三个统计量中： 5=（-）2,5经=二(X-)2,S学=(-X2 谁是σ2的无偏估计？谁对σ2的均方误差E(S经-σ2)最小？请证明你的结论。 六、某校组织学生参加英文词汇训练，并在年初与年底（即训练前与训后）各举行一次 阅读考试，以考察训练的效果。现随机抽取10名同学，将其年初与年底的考试成 绩记录如下 (1)假定两次考分之差服从正态分布，试由此判断词汇训练是否有显著效果？（在 a=0.05的水平下检验) (2)若上述两组数据并非抽自相同的10名同学，而是分别从两次考分中各随机抽取10
ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2005—2006 ᆜᒪㅢӂᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2006 ᒤ 7 ᴸ 3 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃ൘オᡈѝ⭢ᵪݸ҉ੁᵪᔰ⚛ˈࠫ㩭҉ᵪⲴᾲ⦷Ѫ 0.2˗㤕҉ᵪᵚ㻛ࠫ㩭ˈቡ䘋㹼䘈 ࠫˈࠫ㩭⭢ᵪⲴᾲ⦷Ѫ 0.3˗㤕⭢ᵪᵚ㻛ࠫ㩭ˈࡉ䘋᭫҉ᵪˈࠫ㩭҉ᵪⲴᾲ⦷Ѫ 0.4.䈅≲൘䘉йഎਸѝ˖ ˄1˅҉ᵪ㻛ࠫ㩭Ⲵᾲ⦷ᱟཊቁ˛ ˄2˅㤕҉ᵪ㻛ࠫ㩭ˈࡉᆳ൘ㅜаഎਸѝ㻛ࠫ㩭Ⲵᾲ⦷ᱟཊቁ˛ Ҽǃ䇮ܺଵ~ ቀ ିଵ, , ଵ .ଶହ, .ହ, .ଶହቁˈܺଶ~ ቀ , ଵ .ହ, .ହቁ ˈфP{ܺଵܺଶ = 0} = 1DŽ䈅≲˖ ˄1˅䈅≲(ܺଵ,ܺଶ)Ⲵ࠶ᐳ˗ ˄2˅ܺଵоܺଶᱟ⤜・˛ѪӰѸ˛ ˄3˅ܺଵоܺଶᱟнޣ˛ѪӰѸ˛ йǃ䇮 X о Y ӂ⤜・ˈ䜭ᴽӾᤷᮠ࠶ᐳˈ৲ᮠ࡛࠶Ѫߣоߤ)ߣ ് ߤˈ(䈅≲ Z Ⲵᾲ⦷ᇶ ᓖ݂(ݖަˈ(ѝ˖˄1˅Z=X+Y˗˄2˅Z=X-YDŽ ഋǃ䇮ṧᵜܺଵ, ڮܺ , ᣭ㠚ᙫփ XˈX ᴽӾ(ߠ ,ߠ + 1)кⲴ൷र࠶ᐳ˖ ˄1˅䈅≲ߠⲴ⸙ՠ䇑ߠ઼ᶱབྷլ❦ՠ䇑כߠ˗ ˄2˅䇱᰾ߠ ଵ = ܺത െ ଵ ଶ ߠо ଶ = ܺ() െ ାଵ ൷ѪߠⲴᰐٿՠ䇑˗ ߠ˅3 ˄ ߠ઼ଵ ଶଚњᴤᴹ᭸˛ ӄǃ䇮ṧᵜܺଵ, ڮܺ , ᣭ㠚↓ᘱᙫփܰ(ߤ ,ߪଶ)ˈ䰞൘лࡇйњ㔏䇑䟿ѝ˖ ܵଵ ଶ = ଵ ିଵ σ (ܺ െ ܺത) ଶ ଵ ˈܵଶ ଶ = ଵ σ (ܺ െ ܺത) ଶ ଵ ˈܵଷ ଶ = ଵ ାଵ σ (ܺ െ ܺത) ଶ ଵ 䈱ᱟߪଶⲴᰐٿՠ䇑˛䈱ሩߪଶⲴ൷ᯩ䈟ᐞܧ൫ܵ ଶ െ ߪଶ൯ ଶ ᴰሿ˛䈧䇱᰾Ⲵ㔃䇪DŽ ޝǃḀṑ㓴㓷ᆖ⭏৲࣐㤡᮷䇽≷䇝㓳ˈᒦ൘ᒤࡍоᒤᓅ˄ণ䇝㓳ࡽо䇝ਾ˅Ѯ㹼а⅑ 䰵䈫㘳䈅ˈԕ㘳ሏ䇝㓳Ⲵ᭸᷌DŽ⧠䲿ᵪᣭਆ 10 ਼ᆖˈሶަᒤࡍоᒤᓅⲴ㘳䈅ᡀ 㔙䇠ᖅྲл˖ ˄1˅ۇٴᇊє⅑㘳࠶ѻᐞᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳˈ䈅⭡↔ࡔᯝ䇽≷䇝㓳ᱟᴹᱮ㪇᭸᷌˛˄൘ ߙ = 0.05Ⲵ≤ᒣлỰ傼˅ ˄2˅㤕к䘠є㓴ᮠᦞᒦ䶎ᣭ㠚਼Ⲵ 10 ਼ᆖˈ㘼ᱟ࡛࠶Ӿє⅑㘳࠶ѝ䲿ᵪᣭਆ 10
人，并假定两次考分分别服从正态分布（二总体独立），方差未知但相等，试据以 判断词汇训练是否有显著效果？（在a=0.05的水平下检验） 学生 12345678910 年初成绩64438472529377586991 年底成绩72508680509078577295 参考答案 -、(1)0.2+0.8*0.7*0.4-0.424 (2)0.2/0.424=0.472 二、(1)略：(2)不独立：(3)不相关 三、(1)fz(2)=(e-e-),z20 ②a=e也，z20 (e,z<0 四、(1)6=8-6*e[Xm-1,Xal (2)略 (3)hd,广品Vhar(0,)=mn西n≤7，a有效：n之80有效 五、(1)S子=二(%：-)为无偏估计量：(2)均方误差排序S号<S经<S子 六、(1)成对数据检验，拒绝原假设：(2)两样本1检验，无法拒绝原假设
Ӫˈᒦۇٴᇊє⅑㘳࡛࠶࠶ᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳ˄Ҽᙫփ⤜・˅ˈᯩᐞᵚ⸕նㅹˈ䈅ᦞԕ ࡔᯝ䇽≷䇝㓳ᱟᴹᱮ㪇᭸᷌˛˄൘ߙ = 0.05Ⲵ≤ᒣлỰ傼˅ ৲㘳ㆄṸ аǃ˄1˅0.2+0.8*0.7*0.4=0.424 ˄2˅0.2/0.424=0.472 Ҽǃ˄1˅⮕˗˄2˅н⤜・˗˄3˅нޣ йǃ˄1˅݂(ݖ = (ఒఓ ఒିஜ ൫݁ିఓ௭ െ ݁ିఒ௭൯, ݖ 0˗ (2) ݂(ݖ = (ቐ ఒఓ ఒାఓ ݁ିఒ௭, ݖ 0 ఒఓ ఒାఓ ݁ఓ௭, ݖ > 0 ഋǃ˄1˅ߠܺ = ത െ ଵ ଶ כߠ א ()ܺൣ െ 1,ܺ(ଵ)൧ ˄2˅⮕ ˄3˅Var(ߠ ଵ)= ଵ ଵଶ ߠVar൫ ଶ൯ = (ାଵ)మ(ାଶ) n 7, ߠ ଵᴹ᭸˗n 8, ߠ ଶᴹ᭸ ӄǃ˄1˅ܵଵ ଶ = ଵ ିଵ σ (ܺ െ ܺത) ଶ ଵ Ѫᰐٿՠ䇑䟿˗˄2˅൷ᯩ䈟ᐞᧂᒿܵଷ ଶ < ܵଶ ଶ < ܵଵ ଶ ޝǃ˄1˅ᡀሩᮠᦞỰ傼ˈᤂ㔍ۇٴ䇮˗˄2˅єṧᵜ t Ự傼ˈᰐ⌅ᤂ㔍ۇٴ䇮DŽ ᆖ⭏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ᒤࡍᡀ㔙 64 43 84 72 52 93 77 58 69 91 ᒤᓅᡀ㔙 72 50 86 80 50 90 78 57 72 95