4）子列从数列（y中任意选出部分项（无穷项），保持原来的次序，从左往右排列为ym,ym…,Jm，"称此数列为{y)的子数列（简称子列）,记为(yn）.其中k(k=1,2,)表示y在子列中的第k项，n表示在原来数列y中的第n项
从数列 { }n y 中任意选出部分项（无穷项），保 持原来的次序，从左往右排列为 , , n1 n2 y y ., , nk y . 称此数列为{ }n y 的子数列（简称子列），记为{ } nk y . 其中k ( k = 1,2,.)表示 k n y 在子列中的第k 项， k n 表 示在原来数列 { }n y 中的第 k n 项． 4）子列
二、 数列的极限对于数列y.如果当自变量n无限增大时,Yn趋于某个确定的常数A,那么 A 叫做数列yn)的极限,记作lim y, = A或 yn→A(n →)n此时,也称数列(yn)收敛于A.如果数列(yn)的极限不存在,就说数列(是发散的
二、数列的极限 对于数列 { }n y ,如果当自变量 n 无限增大 时, n y 趋于某个确定的常数 A ,那么 A 叫做数列 { }n y 的极限,记作 yn A n = → lim 或 y → A(n → ) n . 此 时,也称数列{ }n y 收敛于 A.如果数列{ }n y 的极限不存在,就说数列 { }n y 是发散的
三、数列极限的性质和运算性质1 (极限的唯一性)如果数列y有极限(或收敛),那么它的极限是唯一的性质2（收敛数列的有界性）如果数列(y）有极限，那么数列，一定有界。性质3（收敛数列的保号性）如果给定数列(yn)，且limyn=α，α>0（或a<0)那么从某一项起，都有yn>0（或yn<0）
三、数列极限的性质和运算 性质 1 (极限的唯一性) 如果数列 {yn } 有极 限(或收敛),那么它的极限是唯一的. 性质 2（收敛数列的有界性）如果数列{ }n y 有极限，那么数列{ }n y 一定有界． 性质 3（收敛数列的保号性）如果给定数列 { }n y ，且 yn a n = → lim ，a 0（或 a 0) 那么从某一项 起，都有 yn 0 （或 yn 0 ）．
性质4 (子列的收敛性)数列收敛于a的充分必要条件是数列(yn的任一子数列(yn收敛于a.性质 5 (夹逼准则)如果数列(x,),(yn),(zn)满足下列条件：(1) xn≤yn≤zn,(n=1,2,3,.） ;(2)lim x,=lim zn=α，则数列(yn)的极限存在,na且 lim yn = a性质6单调有界数列必有极限
性质 4 (子列的收敛性) 数列 { }n y 收敛于 a 的充分必要条件是数列 { }n y 的任一子数列{ } nk y 收 敛于a． 性质 5 (夹逼准则)如果数列{ },{ },{ } n n n x y z 满 足 下 列 条 件 ： (1) x y z ,(n =1,2,3,.) n n n ； (2) x zn a n n n = = → → lim lim ，则数列{ }n y 的极限存在， 且 yn a n = → lim . 性质 6 单调有界数列必有极限
设数列x,y的极限都存在，且lim x, = A, lim yn = B,则2nn>8lim (xn ±yn) = lim xn ± lim yn = A± B(1)n>8n→0n→00lim xn : yn = lim xn · lim yn = AB:(2)n>n->8n->0lim xnAXnn>limB（O(3)Blimynn-00 Ynn>0
设数列 { },{ } n n x y 的 极 限 都 存 在 , 且 xn A n = → lim , yn B n = → lim ,则 (1) x y x yn A B n n n n n n = = → → → lim ( ) lim lim ; (2) x y x yn AB n n n n n n = = → → → lim lim lim ; (3) ( 0) lim lim lim = = → → → B B A y x y x n n n n n n n ．