NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例4.求h lim nn+1 n→)0 解:li lim nn+1 n)0n(n+1) 2 但不能用的等价无穷小—,来代换 n OD 高等數粤
例4. . 1 1 1 1 lim 2 n n n n + − → 求 解 : 21 1 1 1 lim n n n n + − → ( 1 ) lim 2+ = → n nn n = 1 . 1 1 1 1 n n n 但不能用 的等价无穷小 来代换 +
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 事实上,若作代换,有 im nn+ Im n+1 n+1 = limo=0 n→)0 显然,这个结果是错误的 OD 高等數粤
事实上, 若作代换, 有 2 1 1 1 1 lim n n n n + − → 2 1 1 1 1 1 lim n n n n + − + = → = lim 0 = 0 n→ 显然, 这个结果是错误的
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5.当x→>0时,tgx-sinx是x的几阶无穷小量? 解:首先注意结论:若当x->0时,f(x)=O(x), g(x)=O(x),则f(x)·g(x)=O(x+/),其中 a,B均大于0 事实上设当x(时+f(x),A≠08 O)B≠0. 从而, f(x)·g(x)f(x)g(x) A·B≠0. a+B C OD 高等數粤
例5. 当x→0时, tgx – sinx是x的几阶无穷小量? 解: 首先注意结论: 若当x→0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 则 f (x) · g(x) = O(x + ), 其中, , 均大于0. 0. ( ) 0, ( ) , → 0 , → → B x g x A x f x x 事实上 设当 时 0. ( ) ( ) ( ) ( ) , = → + A B x g x x f x x f x g x 从而
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 由于tgx-sinx=tgx(1-cosx) 因tgx~x,而1-cosx=O(x2) f tgx-sinx=tgx(1-COSx)=O(x OD 高等數粤
由于 tgx – sinx = tgx(1– cosx) 因 tgx ~ x , 而 1– cosx = O(x 2 ). 故 tgx – sinx = tgx(1– cosx ) = O(x 3 )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 常用的等价无穷小 当x→>0时, SInx x tgr x arctgx x arcsinx x In(1+x) 1-cOS x x 2 (1+x)-1~kx,(k∈R,k≠0) OD 高等數粤
当x→0时, sinx ~ x, tgx ~ x, arctgx ~ x, arcsinx ~ x, e x–1 ~ x, ln(1+x) ~ x, 2 1 cos ~ 2 x − x (1+ x) −1 ~ kx, (k R, k 0) k 常用的等价无穷小