(另外奇偶性)（略） 1°若D关于x轴对称，则 「2fdy ∬fx,y)ddy= 0 f(x,y)为y的偶函数，f(x,一y)=+f(xy) f(x,y)为y的奇函数，f(x,-y)=-f(x,y) 2°若D关于y对称，则 0 ∬fcx,y)dd=2lfdy f(-x,y)=-f(x,y) f(-x,y)=f(x,y) 3°D关于原点对称，则 0 (dd 「f(-x,-y)=-f(x,y) f(-x,-y)=-f(x,y) 作业：(154-155页-1(3)：2(3)：6(5)，(6)：) 二、二重积分在极型标中的累次积分法 “极”与“直”的关系为：x=pcos8,y=psin或r+y广=p,=am0 且dc号hd号pdpd0(145页-说明) :极坐标中的二重积分变换公式为 6
6 （另外-奇偶性）（略） o 1 若 D 关于 x 轴对称，则 = 0 2 ( , ) D1 D fdxdy f x y dxdy f (x, y) 为 y 的偶函数， f (x,−y) = + f (x, y) f (x, y) 为 y 的奇函数， f (x,−y) = − f (x, y) o 2 若 D 关于 y 对称 ，则 = 1 2 0 ( , ) D D fdxdy f x y dxdy − = − = − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y f x y o 3 D 关于原点对称，则 = 1 2 0 ( , ) D D fdxdy f x y dxdy − − = − − − = − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y f x y 作业：（154-155 页-1（3）；2（3）；6（5），（6）；） 二、 二重积分在极坐标中的累次积分法 “极”与“直”的关系为： 2 2 2 cos , sin , , tan y x y x y x = = + = = 或 且 ( d dxdy d d （直） 极） （145 页-说明） 极坐标中的二重积分变换公式为
∬f(x,)kd=j∬r(psin0)pdpd0 1.若Das0sB (极点在D域外) 9()≤p≤p(0) (i)dpdosin) 2.若D0≤0s2n (极点在D域内) 0sp≤p(a) (pcos.psin)pdpdodof(ossin)pdp 一般上，若()积分域D是圆形域、或环形域、或扇形域： (②)被积函数fx,y)含有2+y2或因子。 则选用极坐标求二重积分，其它情形选“直”求。 举例：12)小Vx2+y2dd D:x2+y2≤25 13)∬e-h D:x2+y2≤a2(顺便提一下P148 的概率积分) l4∬arctg D={(x,y)川1≤x2+y2≤4，y20,y≤x} 15)“直”与“极”的转化的例子 刚fk 作业：(155-156页-12(3)；14(2)：15(2) *三、二重积分的换元法（略）
7 ( , cos , sin ) ( ) D D f x y dxdy f d d = 1．若 1 2 ( ) ( ) D （极点在 D 域外） 则 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 cos , sin cos , sin D f d d d f d = 2．若 ( ) 0 2 0 D （极点在 D 域内） 则 ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 cos , sin cos , sin D f d d d f d = 一般上，若 ⑴积分域 D 是圆形域、或环形域、或扇形域； ⑵被积函数 x y f (x, y)含有x 2 + y 2或 因子。 则选用极坐标求二重积分，其它情形选“直”求。 举例：12） x y dxdy D + 2 2 : 25 2 2 D x + y 13） e dxdy D x y −( + ) 2 2 2 2 2 D : x + y a （顺便提一下 P148— 的概率积分） 14) dxdy x y arctg D ( ) 2 2 D x y x y y y x = + , |1 4, 0, 15) “直”与“极”的转化的例子 ( ) 2 ( 1 1 0 1 , y y dy f x y dx − − = 极） 作业：（155-156 页-12（3）；14（2）；15（2）） *三 、二重积分的换元法（略）
定理设fx,y)在xoy平面上的闭区城D上 连续，变换T:x=x(u,y=y(,) 将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的D: 且满足 (①)x(u,y),y(4,y)在D上具有一阶连续偏导数 2在D上雅可比式Ju,= (u,y) (3)变换T:D→D是一对一的，则有 fx=u,以Wuh. 工页下园区回 例1计算川e*dcd其中D由x轴、轴和直 线x+y=2所围成的闭区域， 解令u=y-x,v=y+x, 则x=“ 2 y=+ 2 D→D,即x=0→u=-y y=0→4= x+y=2→y=2
8 ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . (3) : 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) ( , ) = → = = = D D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv T D D u v x y D J u v x u v y u v D uov D xoy D T x x u v y y u v f x y xoy D 变 换 是一对一的，则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数； 且满足 将 平面上的闭区域 变 为 平面上的 ， 连续，变换 定 理 设 在 平面上的闭区域 上 例1 解 线 所围成的闭区域． 计算 其中 由 轴、 轴和直 2 , + = + − x y e dxdy D x y D y x y x 令 u = y − x, v = y + x, . 2 , 2 v u y v u x + = − 则 = D → D , D x y o x + y = 2 D u v o u = −v u = v v = 2 2 2. 0 ; 0 ; + = → = = → = = → = − x y v y u v 即 x u v
J- a(4,) 22 故小e=小ena -dLidu-C(e-e)-e-e 工列下园国回 例2 计第，1-多a,其中D为 新可形+若-1所留度的闲区装 解 作广义极坐标变换r=rcos0, y=brsin0. 其中a>0,b>0,r≥0,0≤0≤2元 在这变换下D→D'={(r,0)0≤r≤1,0≤0≤2π， 园回回 9
9 ( , ) ( , ) u v x y J = , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = + − = − D v u D y x y x e dxdy e dudv 2 1 故 − = v v v u dv e du 2 2 0 1 − = − 2 0 1 ( ) 2 1 e e vdv . −1 = e − e 例2 解 椭 圆 所围成的闭区域． 计 算 其 中 为 1 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 + = − − b y a x dxdy D b y a x D 其中a 0, b 0, r 0, 0 2. = = sin , cos , y br x ar 作广义极坐标变换 在这变换下D → D = {(r,)0 r 1 , 0 2}