§51留数定理 1留数定理 1)留数的定义 若b为f()孤立奇点,则称()=∑CA(=-b) 0<-b<R中的系数C1为(在孤立奇点 处的留数。 f(=)=,则ey()
§5.1留数定理 1.留数定理 (1).留数的定义 ( ) ( ) å ( ) ¥ = -¥ = - k k 若b为f z 的孤立奇点 ,则称 f z Ck z b 中 的系数 C 为f ( )z 在孤立奇点 z b z b R 1 1 0 - - < - < 处的留数。 ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ - = - - = - - = 1 1 1 1 res 1 1 1 1 . . z z f z e g f z 则 Q
问: res sin 0有无意义? sin 答:无,∵z=0不是sin,的孤立奇点 sIn (2)留数定理 /(Ak=2x∑esy() 证:在内作圆,k-b|=R
问 有无意义？ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ ,0 1 sin 1 : res sin z 答 无， 不是 的孤立奇点 z z 1 sin 1 : Q = 0 sin (2). 留数定理 ( ) å ( ) ò = = n k k l f z dz i f b 1 2p res : l , l : z - b = R (k = 1,2,...) 证 在 内作圆 k k k
则/(=∑( k=1 又()=∑C(=-b),0<-b<R R<R'<mnb-bk≠1 /(k=∑C(=by在 而(-b)=2k=-1 k≠-1 5/(=C127=2s/()
( ) å ( ) ò ò = = n k l l k f z dz f z dz 1 则 ( ) ( )1 1 1 f z C z b ,0 z b R k k k = å - < - < ¢ ¥ = -¥ 又 ( min , 1) R < R1 ¢ < bk - b1 k ¹ ( ) å ( ) ò ò ¥ = -¥ \ = - k l k k l f z dz C z b dz 1 1 1 ( ) î í ì ¹ - = - - = ò 0 1 2 1 1 1 k i k z b dz l k p 而 ( ) ( ) 1 1 2 2 res 1 f z dz C i i f b l \ = - × p = p ò
其中es(h)=C.2m2k 类似可证:5()=27C1=27eyb 其中c()=C1=20/(k f/k=∑(k=2m2e) 此即留数定理,它表明了具有孤立奇点的解析 函数的围道积分和奇点之间的关系
( ) ( ) ò = - = 2 1 1 res 1 1 l f z dz i f b C p 其中 ( ) ( ) k l f z dz iC i f b k 2 2 res = p -1 = p 类似可证： ò ( ) ( ) ò = - = k l k f z dz i f b C 2p 1 res 其中 1 ( ) å ( ) å ( ) ò ò = = = = n k k n k l l f z dz f z dz i f b k 1 1 2p res 此即留数定理，它表明了具有孤立奇点的解析 函数的围道积分和奇点之间的关系
由上面有限远点的留数的积分表示式,我们可 类似的给无限远点的留数下一定义。 2无穷远点的留数: (定义rs()=,,( 2 Ti 其中/为包围=R的围道,表示延的顺时针方向 (2)易证 res f(oo)=-C f(在R<<m中的展开式的负次 系数
由上面有限远点的留数的积分表示式，我们可 类似的给无限远点的留数下一定义。 2.无穷远点的留数： (1).定义: ( ) ( ) ò- ¥ = l f z dz i f 2p 1 res 其中 l为包围 z = R的围道 ,-表示延 l的顺时针方向 (2).易证: ( ) 1 res ¥ = -Cf ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ < < ¥ 系数 f z 在 R z 中的展开式的负一次