§35单值函数的孤立奇点 1函数的奇点 孤立奇点若|=-b<8内除b外 f(x)别无其他奇点则z=b是/(=)孤立奇点 e8f(=) z=0→孤立奇点∵当<时仅有奇点z=0 z=1→孤立奇点当-1<时仅有奇点=1
§3.5单值函数的孤立奇点 1.函数的奇点 ( )别无其他奇点则 是 ( )的孤立奇点 孤立奇点：若 内除 外 f x z b f z z b b = - < e ( ) ( 1) 1 . . - = z z e g f z z = 0 ® 孤立奇点 Q当 z < 1时仅有奇点 z = 0 z = 1 ® 孤立奇点 Q当 z - 1 < 1时仅有奇点 z = 1
非孤立奇点:E>0在0<2-b<8内 都还有除b外的奇点则z=b是非孤立奇点 egf()=-1;z=0→奇点 SIn (n=0,±1,±2,地是奇点 n丌 且当n→∞时z 1 →)0 0是非孤立奇点
都还有除 外的奇点则 是非孤立奇点 非孤立奇点： 在 内 b z b z b = "e > 0 0 < - < e ( ) = ; = 0 ® 奇点 1 sin 1 . . z z e g f z ,( 0, 1, 2,...)也是奇点 1 = n = ± ± n z p 且当 时 0 0是非孤立奇点 1 ® ¥ = ® \ z = n n z p
2孤立奇点的分类 若z=b→f(x)孤立奇点 则()=∑CA(=-b)0<-bk<R 1)可去奇点 若/(=)=∑CA(=-b)0<2-b<R k=0 则z=b→f()可去奇点(无负幂) e8,f(=) 2=0f(不定,z=0→奇点
2.孤立奇点的分类 若z = b ® f (x )的孤立奇点 f ( )z C (z b ) z b R k k = å k - < - < ¥ = -¥ 则 0 (1).可去奇点： f ( )z C (z b ) z b R k k = å k - < - < ¥ = ,0 0 若 则z = b ® f (z)的可去奇点 (无负幂 ) ( ) = , = 0 ( )不定 , = 0 ® 奇点 sin . . z f z z z z e g f z
sin= 1F(12 0<z|<0 (2k+) (-1)=2 0→可去奇点 (2k+ 注意:①:z=b为奇点,f(在b点不可导 (k k ②b为可去奇点的充要条件 i>f(=)=∑C(=-b)i>lm(=)=有限
( ) ( ) < < ¥ + - = å ¥ = + z k z z z z k k k ,0 2 1 ! sin 1 1 0 2 1 ( ) ( ) \ = ® 可去奇点 + - = å ¥ = 0 2 1 ! 1 0 2 z k z k k k 注意：① Q z = b为奇点 , f (z)在b点不可导 ( ) ( ) k! f b C k k ¹ ②b为可去奇点的充要条件 > ( ) = ( - ) Û > ( ) = 有限 ® ¥ = -¥ i f z å C z b ii f z z b k k k lim
ⅲ>f(在b充分小邻域内有界 只要论证由→论>→i→诊即可 imnf()=imn∑CA(=-b) 而由极限性质可知总彐8,当0=-b<6有 f( -Cok<6, Bpf()=f(=)-Co+Co 人 f( -C+Co<+Co=M 再考虑的主部 +, + b(2-b)
Û iii > f (z)在b充分小邻域内有界 只要论证由i>→ii>→iii>→i>即可 ( ) ( ) 0 0 lim f z lim C z b C k k k z b z b = å - = ¥ = ® ® Q 而由极限性质可知,总 $d ,当0 < z - b < d有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z - C < e ,即 f z = f z - C + C f (z ) C C C M 令 £ 0 - 0 + 0 < e + 0 = 再考虑f(z)的主部 ( ) ( ) K + K - + + - + - - - - n n z b C z b C z b C 2 1 2