§35正交曲线坐标系中的分离变量 △+=0 △=0 的重要地位: 在三类数理方程中,如果令 l(x,1)=7(n(x,y,-)<1 则波动方程u,-a2△M=0化为: (x,y2)-a27()△=0 T-a △p IT
§3.5 正交曲线坐标系中的分离变量 一、 î í ì D = D + = 0 0 u u lu 的重要地位： 在三类数理方程中，如果令： 则波动方程utt - a 2Du = 0化为： ( ) ( , , ) ( ) 0 2 T¢¢ t v x y z - a T t Dv = = -l D = ¢¢ v v a T T 2 u(x,t) = T(t)v(x, y,z) <1>
从而得到 Jr+a2T=0 o2) v+v=0 此既是亥姆霍兹(He| hot z)方程 同样,将式<1代入热传导方程 D△u=0 可得到一个(的常微分方程和(x,y,z) 的亥姆霍兹方程: T′+DT=0 ∧v+y=0
从而得到： 此既是亥姆霍兹(Helmhot`z)方程。 同样，将式<1>代入热传导方程 u - DDu = 0 t î í ì D + = ¢ + = 0 0 v v T D T l l î í ì D + = ¢¢ + = 0 0 2 v v T a T l l <2> 可得到一个 的常微分方程和 的亥姆霍兹方程： T(t) v(x，y，z)
二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 将式<2>写为: △+=0 将柱坐标中的△表达式代入,得: 10,a、102u02u a(0 nu=o p dp p ap az 令: l(p,9,2)=R(p)(q)Z(
将式<2>写为： Du + lu = 0 将柱坐标中的Du表达式代入，得： 0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 + = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ u z u u u l r r j r r r 令： u(r,j,z) = R(r)F(j)Z(z) 二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
代入上式,得: Φzd,dR、Rea2z (p,)+ t Rg +2Rz=0 p dp dp p- do 两边乘以 并移项,得: RΦZ 1d。dR、1d (p)+ 2=102z pdppΦp2do2 R Z az2 要使上式成立,等式两边必是一个常数
代入上式，得： ( ) 0 2 2 2 2 2 + F = ¶ ¶ + F F + F R Z z Z R d Rz d d dR d z d l r r j r r r 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 z Z d Z d d dR d d R ¶ ¶ + = - F F + l r r j r r r 两边乘以 RFZ 1 并移项，得： 要使上式成立，等式两边必是一个常数
则 z"+1E=0 1d,dR、1dΦ Rpdpφm2×2 (p,)+ =0 对于后一方程,两边同乘以p p d dR ∠ 1a2Φ (p,)+p2(-p) r dp dp d02 上式若相等,则两边必为常数,故 令常数为n2
则： Z¢¢ + mZ = 0 0 1 ( ) 1 2 2 2 + - = F F + l m r r j r r r d d d dR d d R 对于后一方程，两边同乘以 2 r 2 2 2 1 ( ) ( ) j r l m r r r r d d d dR d d R F F + - = - 上式若相等，则两边必为常数，故 令常数为 2 n