§2.3 Cauchy公式 Cauchy公式: 1.单通区域的 Cauchy公式 设l一区域o边界围线, f(-)在=0+1上连续,a∈o 即满足 cauchy定理存在条件,则 1f( d z 2Ti 分析:欲证上式成立,只须证 1f(-) d-f(a)=0 2Ti jiz-a
§2.3 Cauchy公式 一、Cauchy公式： 1．单通区域的Cauchy公式 设 l一区域 s 边界围线， f z( ) 在 s s= +l 上连续，a Î s 即满足Cauchy定理存在条件，则 1 ( ) ( ) 2 f x f a dz pi z a = - —ò 分析：欲证上式成立，只须证 1 ( ) (a) 0 2 l f z dz f pi z a - = - —ò
注意到f)=t Zoz-a 只要证 f(-)xf(2)-() C c t=0即可 这是一在内被积函有一奇点2-a的围道积分, Cauchy定理得证故可用复通区域。 ()-f( t f(-)-f(a) t(与无关) z-0 只要证右边积分为0即可
注意到 1 ( ) ( ) 2 l f a f a dz pi z a = - —ò ∴ 只要证 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l l l f z f z f z f a dz dz dz z a z a z a - - = = - - - —ò — — ò ò 即可 这是一在 内被积函有一奇点 的围道积分， 故可用复通区域。 l z a - Cauchy定理得证 [证]： （与 无关） ( ) ( ) ( ) ( ) l l f z f z f z f a dz dz z a r z a - - = - - — — ò ò r ∴ 只要证右边积分为0即可
lp 2-a 2-a p ∵f(z)在l内连续,∴在a点连续 的>36>0当=p<8有(-/a)<8 ∴只要ρ足够小ρ→>0 ∴(*)成立 注意:①更一般 f(2 1,f) l∈σ,2∈l 2m2-z 解析函积分表达式
( ) ( ) ( ) ( ) max ( ) ( ) 2 l l f z f a f z f a f z f a dz dz r r z a z a pr r - - - £ £ - - — — ò ò ∵f z( ) 在 l 内连续,∴ 在 a点连续 ∴"e d >0, 0 $ > 当 Dz = < r d 有 f(z)- < f a( ) e ∴ 只要 r 足够小 r ®0 ∴ (*)成立 注意：①更一般 1 ( ) ( ) 2 l f f z d i z x x p x = - —ò z l Î Î s x, 解析函积分表达式
②意义:解析函在区域内值由边界(上积分)值确定 8可用来计算围道积分d5能解决Cau定值 不能解决的问题 e.g.开始举的例子是先分项式,用 Cauchy定值和公 式做的,现用 Cauchy公式做,当然只要围道内有奇点 不管用什么做总要用复通区域 cauchy定理。 3z-1 d=d=d2+ =d2 2 2 2兀 (不用分项公式)=47i+2丌i=6i
②意义：解析函在区域内值由边界（上积分）值确定 ③可用来计算围道积分 能解决Cauchy定值 不能解决的问题 l f( ) -z d x x x —ò e.g. 开始举的例子是先分项式，用Cauchy定值和公 式做的，现用Cauchy公式做，当然只要围道内有奇点 不管用什么做总要用复通区域Cauchy定理。 1 2 3 1 3 1 1 2 1 0 3 1 ( 1) 1 3 1 3 1 2 1 4 2 6 z z z z l l z z z z dz dz dz z z z z z z i z z i i i pp p p p - - - = = = - = + - - é ù - - = + ê ú ë û - =+= — — ò ò ò （不用分项公式）
e.g. e a dz=2TI 2(2+i)(z-1 T(Sin-i cos) f(2 ④对于外的关系,则 2.复通区域 Cauchy公式 L=+∑4为G边界,∫()在σ内解析,在 G=0+l上连续则
e.g.2. 2 1 , : ( 1) 2 z z l e d l z i z z - = + ò 2 ( )( ) ( ) (sin cos) z z z i l e e I dz i z z i z i z z i i p p = = = + - + = - ò ④对于 外l 的关系，则 1 ( ) 0 2 l f z d i z x p x = - —ò 2．复通区域Cauchy公式 1 n k k L l l = = + å 为s 边界，f z( ) 在 s 内解析，在 s s= +l 上连续则