§34罗朗级数 在环形域内解析函数f()2唯-的幂级数朗级数 定义:∑c(=-b)→Lmm级数 它是T级数的推广 由前幂级数的形式和Abe定理我们知T级数存 在一收敛圆域|z-b|<R内的和函数是一解析函 数且在|z-b|<R内绝对收敛,在其较小的同心闭 圆|z-b|<p<R内一致收敛
§3.4罗朗级数 在环形域内解析函数 ( ) (唯一的幂级数 )罗朗级数 ¬ f z ® 定义： c (z b ) Laurant 级数 k k å k - ® ¥ = -¥ 它是T级数的推广 由前幂级数的形式和Able定理我们知T级数存 在一收敛圆域│z-b │ <R内的和函数是一解析函 数,且在│z-b│<R内绝对收敛，在其较小的同心闭 圆│z-b│<ρ<R内一致收敛
定理 罗朗级数存在一收敛环域K<|z-b<R在收敛 环域K<|z-b|<R内的和函数是一解析函数且在其较 小的同心闭环域r≤|zb|≤R(r<R<R)上一致 收敛。 ∑c(=-b)=∑c(=-b)+∑c(=-b) 对于∑c(=-b):在2-b<R内绝对收敛 在z-b≤R<R上一致收敛且和函数f(2)解析
一、定理 罗朗级数存在一收敛环域r<│z-b │ <R,在收敛 环域r<│z-b│<R内的和函数是一解析函数,且在其较 小的同心闭环域r`≤│z-b│ ≤ R` (r<r`<R`<R)上一致 收敛。 å ( ) å ( ) å ( ) ¥ = - =-¥ ¥ = -¥ - = - + - 0 1 k k k k k k k k k c z b c z b c z b 对于 c (z b ) 在 R内绝对收敛 k k å k - < ¥ = : z - b 0 在 z - b £ R¢ < R上一致收敛且和函数 f1 (z)解析
对于立时21=:10 在<上绝对收敛 在1≤rr 上一致收敛且和函数f2(z)解析 即:∑c4(=-b)当z-b>7绝对收敛 2b|≥r′>r-致收敛 综上所述: 在公共区域r<z-b<R中L级数绝对收敛 在其内较小闭环域r<r'≤z=b≤R<R内一致收敛
( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ - å - = å - = å = ¥ = - - ¥ = - - -¥ =- z b c z b c z b c k k k k k k k k k 1 1 1 1 对于 x x , 1 在 上绝对收敛 r x < 在 上一致收敛且和函数 f ( ) z 解析 1 1 2 r r < ¢ x £ : ( ) : z - b , 1 即 c z b 当 r绝对收敛 k k å k - > - = -¥ z - b ³ r ¢ > r一致收敛 综上所述： 在公共区域 r < z - b < R中 L级数绝对收敛 , 在其内较小闭环域 r < r ¢ £ z - b £ R¢ < R内一致收敛
对于在圆域内解析的函数我们知有T展开定理, 对于在环域内的解析函数我们将证明有L展开定理
对于在圆域内解析的函数我们知有T展开定理， 对于在环域内的解析函数我们将证明有L展开定理
Laurant展开定理 若f(在r<z-b<R内解析,则 f(4)=∑c(=-b),r<2-b<R k 1,f() d z 2rii(z-b k+1 1:-b=p、(<r<p<R<R b=R′<R 2:=-b
二、Laurant展开定理 若 f (z )在 r < z - b < R 内解析，则 f ( )z c (z b ) r z b R k k = å k - < - < ¥ = -¥ , ( ) ( ) ò + - = l k k dz z b f z i c 1 2 1 p l : z - b = r,(r < r ¢ < r < R¢ < R) l 1 : z - b = R¢ < R l : z - b = r ¢ > r 2