§3.2幂级数 定义:∑a(=-b)=a0+a(=-=b)+a2(=-b) a3(z-b)+…为以b为中心的幂函数 和b是常数 收敛性有类似实幂级数的able定理 1Abe定理:若∑aA(-b)在==收敛 则它在-b<=0-b内绝对收敛 b<=0 在=b≤p(p<|0-b)上 b≤p 致收敛
§3.2幂级数 ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 : a z b a a z b a z b k k å k - = + - + - ¥ = 定义 ... ( ) ... 为以 b为中心的幂函数 3 + + a3 z - b + a k (k = 0,1,2,...)和 b是常数 一、收敛性:有类似实幂级数的able定理 定理 若 ( ) 在 0收敛 0 1 .Able : a z b z z k k å k - = ¥ = 则它在 z - b < z 0 - b 内绝对收敛 在 z - b £ r (r < z 0 - b )上一致收敛
2推论 若∑a(=-b)在2==发散 k=0 则它在-b<1-b内发散 、收敛圆和收敛半径 1收敛圆:对于∑a(=-b)存在一收敛圆=-b=R 当z-b<R它绝对一致收敛 当-b>R它发散 当z-b=R它不定 R称为∑aA(=-b)的收敛半径 k=0
2.推论 若 ( ) 在 1发散 0 a z b z z k k å k - = ¥ = 则它在 z - b < z1 - b内发散 二、收敛圆和收敛半径 a (z b ) z b R k k å k - - = ¥ = 收敛圆 对于 存在一收敛圆 0 1. : 当 z - b < R它绝对一致收敛 当 z - b > R它发散 当 z - b = R它不定 称为 å ( ) 的收敛半径 ¥ = - k 0 k R a k z b
收敛和发散区域不可能相间 2收敛半径公式 R=lin k+1 由达氏判别法,对于∑f <1绝对收敛 当lmn|k+=1 k→∞ 1发散 对于∑a(=-b) k=0
收敛和发散区域不可能相间 2.收敛半径公式 1 lim + ® ¥ = k k k a a R å ¥ k = 0 k 由达氏判别法，对于 f î í ì > < = + ® ¥ 发散 绝对收敛 当 1 1 lim 1 l f f k k k ( ) : 0 å ¥ = \ - k k 对于 a k z b
<1绝对收敛 当li (-b) k+1 k→0a 1发散 < lim 绝对收敛 → 故当(2-b k 发散 故R=2=lim k+1
( ) ( ) ( ) î í ì > < = × - - - + ® ¥ + + ® ¥ 发散 绝对收敛 当 1 1 lim lim 1 1 1 z b a a a z b a z b k k k k k k k k ( ) ï ï î ï ï í ì > < - + ® ¥ + ® ¥ 发散 绝对收敛 故当 1 1 lim lim k k k k k k a a a a z b 1 lim 1 + ® ¥ = = k k k a a l 故 R
例:求∑=的收敛半径并证∑:=1 k=0 k=0 显然R=1im k→\ak+1 1故当<1时∑=—致收敛 k=0 等比NS01-4 a1-ang a-q q n当2<1 又∑:=m∑ m n→ k=0 注意:以上求半径公式对于幂级数缺项的 情况不能简单套用
z z z k k k k - å å = ¥ = ¥ = 1 1 , 0 0 例：求 的收敛半径 并证 显然 故当 时 å 一致收敛 ¥ + = ® ¥ = = < 1 0 lim 1 1 k k k k k z z a a R ( ) q a q q a a q a n n n k k - - = - - å = = 1 1 1 1 1 0 Q 等比数列 z z z z z n z n n k k n n k k - = - - = = < ® ¥ = ® ¥ = å å 1 1 1 1 lim lim 1 0 0 当 又 注意 :以上求半径公式对于幂级数缺项的 情况不能简单套用