§3.3非齐次边界条件的处理 定解条件 L.-a2u=0<1 =0 g() ==h(t 2 l=0=0(x) l=0=v(x)(〈3
§3.3 非齐次边界条件的处理 一、定解条件 ï ï ï î ï ï ï í ì = = = = - = = = = = | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) 0 0 0 0 2 u x u x u h t u g t u a u t t t x l x tt xx y j <1> <2> <3>
二、解题思路 若令(x,1)=X(x)7(t) 则!:X(0)7)=8() X()7(t)=h() 可得: ∫X(0)=g()/7( X()=h(t)/7(t) 无法确定其值 所以,我们要使边界齐次化:
二、解题思路 则： î í ì = = ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) X l T t h t X T t g t 可得： î í ì = = ( ) ( )/ ( ) (0) ( )/ ( ) X l h t T t X g t T t 无法确定其值 若令 u(x，t) = X (x)T(t) 所以，我们要使边界齐次化：
边界条件的处理 1、边界条件齐次化 首先,我们引入新的未知函数v(x,) 和辅助函数(x,1) u(x, t=v(x, t)+w(x, 只要找到(x,1),使它具有性质: 0=|-0=8(1) whr=wl=h(t) 5〉
u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) １、边界条件齐次化 三、边界条件的处理 令 <4> î í ì = = = = = = = = | | ( ) | | ( ) 0 0 w w h t w u g t x l x l x x <5> 首先，我们引入新的未知函数 和辅助函数 v(x,t) w(x,t) 只要找到 w(x,t) ,使它具有性质：
1=0=0 则可使 2、辅助函数w(x,t)的选取: 满足式<5>的即过x-W平面 和两点的曲线,此处我们选择直线。 令:(x,)=A(x+B(t) 则由式<5可得: ∫4(0+B()=8() A(1)+B(10=h(t)
则可使 î í ì = = = = | 0 | 0 0 x l x v v 令：w(x,t) = A(t)x + B(t) 则由式<5>可得： î í ì × + = × + = ( ) ( 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) A t l B t h t A t B t g t ２、辅助函数 w( x, t) 的选取： x - w ( 0 ， g ( t ) ) 满足式<5>的即过 平面 和两点的曲线，此处我们选择直线。 ( l ， h ( t ) ) x - w
从而求得:「B(O)=8() A(口)=[h(0)-g()/7 W(x,)=[h(1)-g()]x/+g()<6〉 则定解问题<1〉-<3可化为; tt (wm -awr)<7> l==0 8> =0=0(x)-(x,0) ",=v(x)-(x,0)49 而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐 方程的定解问题,可用本征函数法求解
从而求得： î í ì = - = A t h t g t l B t g t ( ) [ ( ) ( )]/ ( ) ( ) 则定解问题<1>-<3>可化为； \ w(x,t) = [h(t) - g(t)]x / l + g(t) <6> ï ï ï î ï ï ï í ì = - = - = = - = - - = = = = | ( ) ( ,0) | ( ) ( ,0) | 0 | 0 ( ) 0 0 0 2 2 v x w x v x w x v v v a v w a w t t t t x l x tt xx tt xx y j <9> <8> <7> 而上式正是上节所学的带有齐次边界条件的非齐次 方程的定解问题，可用本征函数法求解