第三章分离变量法 中心内容:用分离变量法求解各种有界问题。 目的:1、有界弦自由振动的解; 2、分离变量法的解题步骤 3、本征值问题: △u=0 分离变量)特殊函数微分方程 △u+a=0
第三章 分离变量法 用分离变量法求解各种有界问题。 目的： 2、分离变量法的解题步骤； 3、本征值问题： 、 ¾分离变量 ¾ ¾®特殊函数微分方程 þ ý ü D + = D = 0 0 4 u u u l 1、有界弦自由振动的解; 中心内容：
§3.1有界弦的自由振动 考虑长为l两端固定的弦的自由振动: a u 1 ux=0 0 2 40=0(x) 3 u, e=v(x)
§3.1 有界弦的自由振动 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì ïþ ï ý ü = = þ ý ü = = = = = = = ( ) ( ) | 0 | 0 0 0 2 u x u x u u u a u t x l t x l x tt xx y j <1> <2> <3> 考虑长为 l 两端固定的弦的自由振动：
解题思路: 1、当弦一端固定时,其自由振动可看为反射波; 2、当弦两端固定时,其自由振动会形成驻波 正波:1=ACOS27( 反波:l2=Ac02×大 驻波:=4+l2=2ACc2xcos fIx 2=X(x)7(0
解题思路： 1、当弦一端固定时，其自由振动可看为反射波； 2、当弦两端固定时，其自由振动会形成驻波； cos 2 ( ) 1 l p g x 正波： u = A t - 反波： cos 2 ( ) 2 l p g x u = A t + 驻波： l p pg x u u u A t 2 2 cos 2 cos = 1 + 2 = = X (x)T(t)
分离变量 我们设定解条件<1><3》的特解为: l(x,)=X(x)7() 则由式<1>,得: T”X atX 即:X"-uXx=0 T-HaT=O
我们设定解条件<1>---<3>的特解为： u(x,t) = X (x)T(t) 一、分离变量 则由式<1>，得： = m ¢¢ = ¢¢ X X a T T 2 即： î í ì ¢¢ - = ¢¢ - = 0 0 2 T a T X X m m
由式<2>,得: x(0)7(t)=0 X()7(t)=0 即 x(0)=0 X()=0 同理由式<3>可得: X(x)7(0)=0(x) 1x(x)r70)=(x) 由于o(x)和v(x)是任意函数此二式不成立
则由式<2>，得： î í ì = = ( ) ( ) 0 (0) ( ) 0 X l T t X T t 即： î í ì = = ( ) 0 (0) 0 X l X 同理由式<3>可得： î í ì ¢¢ = = ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) X x T x X x T x y j 由于j(x)和y (x)是任意函数，此二式 不成立